2695.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Odrediti cos⁡(α+β+γ), \cos(\alpha + \beta + \gamma) , ako je sin⁡α=35∧sin⁡β=1213∧sin⁡γ=725∧α,β,γ∈(0,π2). \sin \alpha = \frac{3}{5} \land \sin \beta = \frac{12}{13} \land \sin \gamma = \frac{7}{25} \land \alpha, \beta, \gamma \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) .

REŠENJE ZADATKA

Pošto uglovi pripadaju prvom kvadrantu, njihovi kosinusi su pozitivni. Računamo cos⁡α \cos \alpha koristeći osnovni trigonometrijski identitet:

cos⁡α=1−sin⁡2α=1−(35)2=1−925=1625=45\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}

Na isti način računamo cos⁡β: \cos \beta :

cos⁡β=1−sin⁡2β=1−(1213)2=1−144169=25169=513\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}

Zatim računamo cos⁡γ: \cos \gamma :

cos⁡γ=1−sin⁡2γ=1−(725)2=1−49625=576625=2425\cos \gamma = \sqrt{1 - \sin^2 \gamma} = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira na izraz cos⁡(α+β+γ), \cos(\alpha + \beta + \gamma) , grupišući prva dva ugla:

cos⁡((α+β)+γ)=cos⁡(α+β)cos⁡γ−sin⁡(α+β)sin⁡γ\cos((\alpha + \beta) + \gamma) = \cos(\alpha + \beta)\cos \gamma - \sin(\alpha + \beta)\sin \gamma

Sada računamo vrednost za cos⁡(α+β) \cos(\alpha + \beta) primenom adicione formule:

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β=45⋅513−35⋅1213=2065−3665=−1665\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = -\frac{16}{65}

Zatim računamo vrednost za sin⁡(α+β) \sin(\alpha + \beta) primenom adicione formule:

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β=35⋅513+45⋅1213=1565+4865=6365\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{63}{65}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u formulu izvedenu u ranijem koraku:

cos⁡(α+β+γ)=(−1665)⋅2425−6365⋅725\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \left(-\frac{16}{65}\right) \cdot \frac{24}{25} - \frac{63}{65} \cdot \frac{7}{25}

Množimo razlomke i oduzimamo ih:

cos⁡(α+β+γ)=−3841625−4411625=−8251625\cos(\alpha + \beta + \gamma) = -\frac{384}{1625} - \frac{441}{1625} = -\frac{825}{1625}

Skraćujemo dobijeni razlomak deljenjem brojioca i imenioca sa 25 kako bismo dobili krajnji rezultat:

cos⁡(α+β+γ)=−3365\cos(\alpha + \beta + \gamma) = -\frac{33}{65}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti