876.

Trigonometrijska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

tg⁡x−sin⁡x>0\tg{x}-\sin{x}>0
REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovnu relaciju: tg⁡x=sin⁡xcos⁡x\tg{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}

sin⁡xcos⁡x−sin⁡x>0sin⁡x⋅(1cos⁡x−1)>0sin⁡x⋅1−cos⁡xcos⁡x>0\frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\sin{x}>0 \\ \sin{x}\cdot (\frac{1}{\cos{x}}-1)>0 \\ \sin{x}\cdot \frac{1-\cos{x}}{\cos{x}}>0

Potrebno je analizirati znak svakog od činilaca izraza: sin⁡x,\sin{x}, cos⁡x\cos{x} i 1−cos⁡x.1-\cos{x}.

Znak izraza sin⁡x:\sin{x}:

sin⁡x>0\sin{x}>0 za:

x∈(0+2kπ, π+2kπ)x \in (0+2k\pi, \ \pi + 2k\pi)

sin⁡x<0\sin{x}<0 za:

x∈(π+2kπ, 2π+2kπ)x \in (\pi+2k\pi, \ 2\pi+2k\pi)

Znak izraza cos⁡x:\cos{x}:

cos⁡x>0\cos{x}>0 za:

x∈(3π2+2kπ, π2+2kπ)x \in (\frac{3\pi}{2}+2k\pi, \ \frac{\pi}{2}+2k\pi)

cos⁡x<0\cos{x}<0 za:

x∈(π2+2kπ, 3π2+2kπ)x \in (\frac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \frac{3\pi}{2} + 2k\pi)

Znak izraza 1−cos⁡x:1-\cos{x}:

Budući da je −1≤cos⁡x≤1,-1\le\cos{x}\le1, izraz 1−cos⁡x1-\cos{x} je je pozitivan za sve x∈(0+2kπ, 2π+2kπ).x \in (0+2k\pi, \ 2\pi+2k\pi).

(0,π2)(0, \frac{\pi}{2})
(π2,π)(\frac{\pi}{2}, \pi)
(π,3π2)(\pi, \frac{3\pi}{2})
(3π2,2π)(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)
sin⁡x\sin{x}
++
++
−-
−-
1−cos⁡x1-\cos{x}
++
++
++
++
cos⁡x\cos{x}
++
−-
−-
++
sin⁡x⋅1−cos⁡xcos⁡x\sin{x}\cdot \frac{1-\cos{x}}{\cos{x}}
++
−-
++
−-

Pročitati iz tabele za koje vrednosti xx je izraz pozitivan.

x∈(0+2kπ,π2+2kπ)∪x∈(π+2kπ,3π2+2kπ),k∈Zx \in (0+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi) \quad \cup \quad x \in (\pi+2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi), \quad k\in\mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti