Podeli

893.
Trigonometrijska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

1-\sin2x\le\cos x-\sin x, \quad x\in[0, \ 2\pi]

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

1-2\sin x\cos x\le\cos x-\sin x

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

\cos^2x-2\sin x\cos x+\sin^2x\le\cos x-\sin x

Primeniti formulu za kvadrat razlike: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

(\cos x-\sin x)^2\le\cos x-\sin x \\ (\cos x-\sin x)^2-(\cos x-\sin x)\le0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade.

(\cos x-\sin x)(\cos x-\sin x-1)\le0

Potrebno je analizirati znak svakog od činilaca izraza: $\cos x-\sin x$ i $\cos{x}-\sin x-1.$

Znak izraza $\cos x-\sin{x}:$

$\cos x-\sin{x}\ge0$ za:

x\in\bigg[0,\ \frac{\pi}4\bigg]\ \cup \ \bigg[\frac{5\pi}4,\ 2\pi\bigg]

DODATNO OBJAŠNJENJE

Pomnožiti izraz sa $-\frac{\sqrt2}2.$ Menja se smer znaka nejednakosti.

\sin x\frac{\sqrt2}2-\frac{\sqrt2}2\cos x\le0

Koeficijent $\frac {\sqrt2}2$ zameniti njegovim trigonometrijskim vrednostima: $\cos{\frac{\pi}{4}}$ i $\sin\frac {\pi}4$

\sin x\cos\frac{\pi}4-\sin\frac{\pi}4\cos x\le0

Primeniti formulu za sinus razlike: $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha$

\sin(x-\frac{\pi}4)\le0

Uvrstiti vrednosti za koje važi postavljeni uslov.

-\frac{\pi}4\le x-\frac{\pi}4\le0 \quad\lor\quad \pi\le x-\frac{\pi}4\le2\pi \\ 0\le x\le\frac{\pi}4\quad\lor\quad \frac{5\pi}4\le x\le2\pi

$\cos x-\sin{x}<0$ za:

x\in\bigg(\frac{\pi}4, \ \frac{5\pi}4\bigg)

Znak izraza $\cos x-\sin{x}-1:$

$\cos x-\sin{x}-1\ge0$ za:

x\in\bigg[\frac{3\pi}2, 2\pi\bigg]

DODATNO OBJAŠNJENJE

\cos x-\sin x\ge1

Pomnožiti izraz sa $-\frac{\sqrt2}2.$ Menja se smer znaka nejednakosti.

\sin x\cdot \frac{\sqrt2}2-\frac{\sqrt2}2\cdot\cos x\le-\frac{\sqrt2}2

Koeficijent $\frac {\sqrt2}2$ zameniti njegovim trigonometrijskim vrednostima: $\cos{\frac{\pi}{4}}$ i $\sin\frac {\pi}4$

\sin x\cos\frac{\pi}4-\sin\frac{\pi}4\cos x\le-\frac{\sqrt2}2

Primeniti formulu za sinus razlike: $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha$

\sin(x-\frac{\pi}4)\le-\frac{\sqrt2}2

Uvrstiti vrednosti za koje važi postavljeni uslov.

\pi+\frac{\pi}4\le x-\frac{\pi}4\le2\pi-\frac{\pi}4 \\ \frac{3\pi}2\le x\le2\pi

x\in(0,\frac{\pi}4)

x\in(\frac{\pi}4, \frac{5\pi}4)

x\in(\frac{5\pi}4, \frac{3\pi}2)

x\in(\frac{3\pi}2, 2\pi)

\cos x-\sin x

+

-

+

+

\cos x-\sin x-1

-

-

-

+

(\cos x-\sin x)(\cos x-\sin x-1)

-

+

-

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x\in\bigg[0,\frac{\pi}4\bigg] \ \cup \ \bigg[\frac{5\pi}4, \frac{3\pi}2\bigg]

893.Trigonometrijska nejednačina