894.

Trigonometrijska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

2cos⁡xtg⁡x−6cos⁡x+tg⁡x−3>0,x∈[0,2π]\sqrt2\cos x\tg x-\sqrt6\cos x+\tg x-\sqrt3>0, \quad x\in[0,2\pi]
REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: tg⁡α=sin⁡αcos⁡α \tg{\alpha}=\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}

2cos⁡x⋅sin⁡xcos⁡x−6cos⁡x+sin⁡xcos⁡x−3>0\sqrt2\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}-\sqrt6\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}-\sqrt3>0

Svesti sve članove na isti imenilac.

2cos⁡xsin⁡x−6cos⁡2x+sin⁡x−3cos⁡xcos⁡x>0\frac{\sqrt2\cos x\sin x-\sqrt6\cos^2x+\sin x-\sqrt3\cos x}{\cos x}>0

Grupisati članove u brojiocu i izvući zajedničke činioce ispred zagrade.

(2cos⁡xsin⁡x−6cos⁡2x)+(sin⁡x−3cos⁡x)cos⁡x>02cos⁡x(sin⁡x−3cos⁡x)+(sin⁡x−3cos⁡x)cos⁡x>0(sin⁡x−3cos⁡x)(2cos⁡x+1)cos⁡x>0\frac{(\sqrt2\cos x\sin x-\sqrt6\cos^2x)+(\sin x-\sqrt3\cos x)}{\cos x}>0 \\ \frac{\sqrt2\cos x(\sin x-\sqrt3\cos x)+(\sin x-\sqrt3\cos x)}{\cos x}>0 \\ \frac{(\sin x-\sqrt3\cos x)(\sqrt2\cos x+1)}{\cos x}>0

Potrebno je analizirati znak svakog od činilaca izraza: sin⁡x−3cos⁡x,\sin x-\sqrt3\cos x, 2cos⁡x+1\sqrt2\cos{x}+1 i cos⁡x.\cos{x}.

Znak izraza sin⁡x−3cos⁡x:\sin{x}-\sqrt3\cos x:

sin⁡x−3cos⁡x>0\sin{x}-\sqrt3\cos x>0 za:

x∈(π3, 4π3)x\in\bigg(\frac{\pi}3, \ \frac{4\pi}3\bigg)
DODATNO OBJAŠNJENJE

sin⁡x−3cos⁡x<0\sin{x}-\sqrt3\cos x<0 za:

x∈(0, π3) ∪ (4π3, 2π)x\in\bigg(0,\ \frac{\pi}3\bigg)\ \cup \ \bigg(\frac{4\pi}3, \ 2\pi\bigg)

Znak izraza 2cos⁡x+1:\sqrt2\cos{x}+1:

2cos⁡x+1>0\sqrt2\cos{x}+1>0 za:

x∈(0, 3π4) ∪ (5π4, 2π)x\in\bigg(0, \ \frac{3\pi}4\bigg)\ \cup\ \bigg(\frac{5\pi}4, \ 2\pi\bigg)
DODATNO OBJAŠNJENJE

2cos⁡x+1<0\sqrt2\cos{x}+1<0 za:

x∈(3π4, 5π4)x\in\bigg(\frac{3\pi}4, \ \frac{5\pi}4\bigg)

Znak izraza cos⁡x:\cos{x}:

cos⁡x>0\cos{x}>0 za:

x∈(0, π2) ∪ (3π2, 2π)x \in \bigg(0,\ \frac{\pi}{2}\bigg)\ \cup \ \bigg(\frac{3\pi}2, \ 2\pi\bigg)

cos⁡x<0\cos{x}<0 za:

x∈(π2, 3π2)x \in\bigg(\frac{\pi}2, \ \frac{3\pi}2\bigg)
x∈(0,π3)x\in(0,\frac{\pi}3)
x∈(π3,π2)x\in(\frac{\pi}3,\frac{\pi}2)
x∈(π2,3π4)x\in(\frac{\pi}2,\frac{3\pi}4)
x∈(3π4,5π4)x\in(\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4)
x∈(5π4,4π3)x\in(\frac{5\pi}4,\frac{4\pi}3)
x∈(4π3,3π2)x\in(\frac{4\pi}3, \frac{3\pi}2)
x∈(3π2,2π)x\in(\frac{3\pi}2,2\pi)
sin⁡x−3cos⁡x\sin x-\sqrt3\cos x
−-
++
++
++
++
−-
−-
2cos⁡x+1\sqrt2\cos x+1
++
++
++
−-
++
++
++
cos⁡x\cos x
++
++
−-
−-
−-
−-
++
(sin⁡x−3cos⁡x)(2cos⁡x+1)cos⁡x\frac{(\sin x-\sqrt3\cos x)(\sqrt2\cos x+1)}{\cos x}
−-
++
−-
++
−-
++
−-

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x∈(π3, π2) ∪ (3π4, 5π4) ∪ (4π3, 3π2)x\in\bigg(\frac{\pi}3, \ \frac{\pi}2\bigg) \ \cup \ \bigg(\frac{3\pi}4, \ \frac{5\pi}4\bigg) \ \cup \ \bigg(\frac{4\pi}3, \ \frac{3\pi}2\bigg)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti