2809.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti trigonometrijsku jednačinu:

sin⁡x=cos⁡x\sin x = \cos x
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da rešenje jednačine ne može biti takvo da je cos⁡x=0, \cos x = 0 , jer bi u tom slučaju i sin⁡x \sin x morao biti nula, što je nemoguće zbog osnovnog trigonometrijskog identiteta sin⁡2x+cos⁡2x=1. \sin^2 x + \cos^2 x = 1 . Zato možemo podeliti celu jednačinu sa cos⁡x. \cos x .

sin⁡xcos⁡x=cos⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x}{\cos x}

Korišćenjem definicije funkcije tangens tg⁡x=sin⁡xcos⁡x, \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} , jednačina postaje:

tg⁡x=1\operatorname{tg} x = 1

Sada rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu po formuli x=arctg⁡a+πn. x = \operatorname{arctg} a + \pi n . Računamo vrednost za koju je tangens jednak 1.

x=arctg⁡(1)+πn,n∈Zx = \operatorname{arctg}(1) + \pi n, \quad n \in \mathbf{Z}

Znamo da je arctg⁡(1)=π4, \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} , pa dobijamo konačno rešenje:

x=π4+πn,n∈Zx = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbf{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti