2808.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti trigonometrijsku jednačinu:

2sin⁡2x−1=02 \sin 2x - 1 = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo izolujemo trigonometrijsku funkciju sin⁡2x \sin 2x tako što prebacimo slobodan član na desnu stranu i podelimo jednačinu sa 2.

2sin⁡2x=1sin⁡2x=122 \sin 2x = 1 \\ \sin 2x = \frac{1}{2}

Jednačina je sada u osnovnom obliku sin⁡t=a, \sin t = a , gde je t=2x t = 2x i a=12. a = \frac{1}{2} . Pošto je ∣12∣≤1, |\frac{1}{2}| \le 1 , rešenja postoje. Znamo da je arcsin⁡12=π6. \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} .

2x=(−1)nπ6+nπ,n∈Z2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Opšte rešenje možemo razdvojiti na dva slučaja u zavisnosti od parnosti broja n. n . Neka je n=2k n = 2k (parni brojevi) i n=2k+1 n = 2k + 1 (neparni brojevi).

{2x=π6+2kπ2x=π−π6+2kπ\begin{cases} 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ 2x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \end{cases}

Sredimo izraze u oba slučaja pre deljenja sa 2.

{2x=π6+2kπ2x=5π6+2kπ\begin{cases} 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \end{cases}

Deljenjem obe strane sa 2 dobijamo konačna rešenja za x. x .

{x=π12+kπx=5π12+kπ,k∈Z\begin{cases} x = \frac{\pi}{12} + k\pi \\ x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \end{cases}, \quad k \in \mathbf{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti