Podeli

2816.
Trigonometrijske jednačine

REŠENJE ZADATKA

Jednačina sadrži funkciju tangens, pa prvo moramo odrediti uslove pod kojima je ona definisana. Funkcija $\operatorname{tg} 3x$ je definisana kada je njen imenilac različit od nule:

\cos 3x \neq 0

Rešavamo uslov definisanosti:

3x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbf{Z}

Proizvod dva izraza je jednak nuli ako je bar jedan od njih jednak nuli. Zato jednačinu delimo na dva slučaja:

\operatorname{tg} 3x = 0 \quad \lor \quad \cos x = 0

Rešavamo prvi slučaj:

\operatorname{tg} 3x = 0 \implies 3x = m\pi \implies x = \frac{m\pi}{3}, \quad m \in \mathbf{Z}

Proveravamo da li rešenje prvog slučaja zadovoljava uslov definisanosti. Izjednačavamo rešenje sa uslovom da bismo videli da li se poklapaju:

\frac{m\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}

Množenjem jednačine sa $\frac{6}{\pi}$ dobijamo:

2m = 1 + 2k

Dobili smo jednakost parnog broja ( $2m$ ) i neparnog broja ( $1 + 2k$ ), što je nemoguće za cele brojeve. To znači da se rešenja nikada ne poklapaju sa zabranjenim vrednostima, pa su sva rešenja oblika $x = \frac{m\pi}{3}$ validna.

Sada rešavamo drugi slučaj:

\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Proveravamo da li rešenje drugog slučaja zadovoljava uslov definisanosti. Izjednačavamo rešenje sa uslovom:

\frac{\pi}{2} + n\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}

Množenjem jednačine sa $\frac{6}{\pi}$ dobijamo:

3 + 6n = 1 + 2k \implies 2 + 6n = 2k \implies 1 + 3n = k

Pošto za svaki ceo broj $n$ postoji ceo broj $k$ takav da važi $k = 3n + 1 ,$ to znači da se sva rešenja drugog slučaja poklapaju sa zabranjenim vrednostima. Zbog toga drugi slučaj ne daje validna rešenja.

Konačno rešenje jednačine je:

x = \frac{m\pi}{3}, \quad m \in \mathbf{Z}

Započni učenje

Online grupni časovi

2816.
Trigonometrijske jednačine

2816.Trigonometrijske jednačine

2816.
Trigonometrijske jednačine