2817. Trigonometrijske jednačine

Korenovanjem obe strane jednačine dobijamo dve mogućnosti:

\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

Razdvajamo na dve odvojene jednačine:

\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \lor \quad \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Rešavamo prvu jednačinu $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} .$ Koristimo formulu za opšte rešenje $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n :$

x_1 = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbf{Z}

Pošto je $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} ,$ dobijamo:

x_1 = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbf{Z}

Ovo rešenje možemo razložiti na dva posebna slučaja zavisno od parnosti broja $n .$ Za parno $n = 2k$ i neparno $n = 2k+1$ dobijamo:

x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \lor \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbf{Z}

Sada rešavamo drugu jednačinu $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} :$

x_2 = (-1)^m \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi m, \quad m \in \mathbf{Z}

Pošto je $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} ,$ dobijamo:

x_2 = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{3} + \pi m, \quad m \in \mathbf{Z}

Slično kao kod prve jednačine, razlaganjem na parne i neparne umnoške dobijamo:

x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \lor \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbf{Z}

Sva dobijena rešenja predstavljaju četiri tačke na trigonometrijskoj kružnici. Možemo ih objediniti u jedan jednostavniji zapis:

x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbf{Z}

2817.Trigonometrijske jednačine