2822. Trigonometrijske jednačine

Uvodimo smenu $t = x - \frac{\pi}{3} .$ Jednačina se svodi na osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

\sin t = \frac{1}{2}

Opšte rešenje jednačine $\sin t = a$ možemo zapisati kao uniju dve grupe rešenja. Prva grupa rešenja je:

t_1 = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Pošto je $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} ,$ dobijamo:

t_1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi

Vraćamo uvedenu smenu $t = x - \frac{\pi}{3}$ u prvu grupu rešenja:

x_1 - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi

Prebacujemo $-\frac{\pi}{3}$ na desnu stranu i računamo $x_1 :$

x_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi

Druga grupa rešenja za sinusnu jednačinu je oblika $t_2 = \pi - \arcsin a + 2k\pi :$

t_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Zamenjujemo vrednost arkus sinusa i računamo $t_2 :$

t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi

Vraćamo smenu i za drugu grupu rešenja:

x_2 - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi

Prebacujemo $-\frac{\pi}{3}$ na desnu stranu i računamo $x_2 :$

x_2 = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi

Konačno rešenje predstavlja uniju dobijenih rešenja $x_1$ i $x_2 :$

x \in \left\{ \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right\} \cup \left\{ \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \right\}, \quad k \in \mathbf{Z}

2822.Trigonometrijske jednačine