2823.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: sin⁡x+cos⁡x=1+sin⁡xcos⁡x. \sin x + \cos x = 1 + \sin x \cos x .

REŠENJE ZADATKA

Prebacujemo sve članove na levu stranu jednačine kako bismo je pripremili za grupisanje.

sin⁡x+cos⁡x−1−sin⁡xcos⁡x=0\sin x + \cos x - 1 - \sin x \cos x = 0

Grupišemo članove na sledeći način:

(sin⁡x−sin⁡xcos⁡x)−(1−cos⁡x)=0(\sin x - \sin x \cos x) - (1 - \cos x) = 0

Iz prve zagrade izdvajamo zajednički činilac sin⁡x. \sin x .

sin⁡x(1−cos⁡x)−(1−cos⁡x)=0\sin x (1 - \cos x) - (1 - \cos x) = 0

Sada izdvajamo zajednički izraz 1−cos⁡x 1 - \cos x ispred zagrade.

(1−cos⁡x)(sin⁡x−1)=0(1 - \cos x)(\sin x - 1) = 0

Proizvod dva izraza je jednak nuli ako i samo ako je bar jedan od njih jednak nuli. Dobijamo dve osnovne trigonometrijske jednačine.

1−cos⁡x=0∨sin⁡x−1=01 - \cos x = 0 \quad \lor \quad \sin x - 1 = 0

Rešavamo prvu jednačinu.

cos⁡x=1\cos x = 1

Rešenje prve jednačine je:

x=2kπ,k∈Zx = 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Rešavamo drugu jednačinu.

sin⁡x=1\sin x = 1

Rešenje druge jednačine je:

x=π2+2mπ,m∈Zx = \frac{\pi}{2} + 2m\pi, \quad m \in \mathbf{Z}

Konačno rešenje predstavlja uniju rešenja obe jednačine.

x∈{2kπ∣k∈Z}∪{π2+2mπ∣m∈Z}x \in \{ 2k\pi \mid k \in \mathbf{Z} \} \cup \left\{ \frac{\pi}{2} + 2m\pi \mid m \in \mathbf{Z} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti