2826.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti trigonometrijsku jednačinu:

sin⁡(x−π2)+sin⁡(3π2+x)=−2\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\sqrt{2}
REŠENJE ZADATKA

Primenom osobina trigonometrijskih funkcija, uprošćavamo prvi sabirak:

sin⁡(x−π2)=−sin⁡(π2−x)=−cos⁡x\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\cos x

Zatim uprošćavamo drugi sabirak:

sin⁡(3π2+x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu jednačinu:

−cos⁡x−cos⁡x=−2-\cos x - \cos x = -\sqrt{2}

Sređujemo levu stranu jednačine:

−2cos⁡x=−2-2\cos x = -\sqrt{2}

Delimo jednačinu sa −2 -2 kako bismo izrazili cos⁡x: \cos x :

cos⁡x=22\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Opšte rešenje za cos⁡x=a \cos x = a je x=±arccos⁡a+2kπ: x = \pm \arccos a + 2k\pi :

x=±arccos⁡(22)+2kπ,k∈Zx = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Pošto je arccos⁡(22)=π4, \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} , konačno rešenje je:

x=±π4+2kπ,k∈Zx = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti