2825.

887.a

TEKST ZADATKA

Rešiti trigonometrijsku jednačinu:

sin⁡2x+2sin⁡x=0\sin^2 x + 2 \sin x = 0
REŠENJE ZADATKA

Izvlačimo zajednički činilac sin⁡x \sin x ispred zagrade.

sin⁡x(sin⁡x+2)=0\sin x (\sin x + 2) = 0

Proizvod je jednak nuli kada je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine:

sin⁡x=0∨sin⁡x+2=0\sin x = 0 \quad \lor \quad \sin x + 2 = 0

Posmatramo drugu jednačinu.

sin⁡x=−2\sin x = -2

Pošto vrednost sinusne funkcije mora biti u intervalu [−1,1], [-1, 1] , jednačina sin⁡x=−2 \sin x = -2 nema realnih rešenja.

x∈∅x \in \emptyset

Sada posmatramo prvu jednačinu.

sin⁡x=0\sin x = 0

Koristimo formulu za opšte rešenje osnovne trigonometrijske jednačine sin⁡x=a, \sin x = a , koja glasi x=(−1)narcsin⁡a+πn, x = (-1)^n \arcsin a + \pi n , za n∈Z. n \in \mathbf{Z} .

x=(−1)narcsin⁡0+πnx = (-1)^n \arcsin 0 + \pi n

Pošto je arcsin⁡0=0, \arcsin 0 = 0 , zamenom dobijamo konačno rešenje.

x=πn,n∈Zx = \pi n, \quad n \in \mathbf{Z}