2838.

Trigonometrijske jednačine

Koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 .$ Primenom na $\cos \frac{x}{2}$ dobijamo:

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu jednačinu:

Oslobađamo se zagrada i sređujemo jednačinu:

Oduzimamo 1 sa obe strane jednačine:

Izvlačimo zajednički činilac $2 \cos \frac{x}{4}$ ispred zagrade:

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine:

Rešavamo prvu jednačinu:

Opšte rešenje za $\cos \alpha = 0$ je $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi ,$ gde je $k \in \mathbf{Z} :$

Množimo jednačinu sa 4 da bismo izrazili $x :$

Zatim rešavamo drugu jednačinu:

Prebacujemo kosinus na desnu stranu:

Opšte rešenje za $\cos \alpha = 1$ je $\alpha = 2k\pi ,$ gde je $k \in \mathbf{Z} :$

Množimo jednačinu sa 4 da bismo izrazili $x :$

Konačna rešenja jednačine su, gde je $k \in \mathbf{Z} :$