2844.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu cos⁡x−2sin⁡2x2=0 \cos x - 2 \sin^2 \frac{x}{2} = 0 u intervalu (−π,4π]. (-\pi, 4\pi] .

REŠENJE ZADATKA

Koristimo trigonometrijski identitet za polovinu ugla kako bismo izrazili 2sin⁡2x2 2 \sin^2 \frac{x}{2} preko cos⁡x. \cos x .

2sin⁡2x2=1−cos⁡x2 \sin^2 \frac{x}{2} = 1 - \cos x

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu jednačinu.

cos⁡x−(1−cos⁡x)=0\cos x - (1 - \cos x) = 0

Sređujemo jednačinu tako što oslobađamo zagradu i grupišemo slične članove.

2cos⁡x−1=02 \cos x - 1 = 0

Izražavamo cos⁡x \cos x iz jednačine.

cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Opšte rešenje je dato formulom x=±arccos⁡a+2kπ. x = \pm \arccos a + 2k\pi .

x=±π3+2kπ,k∈Zx = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Sada tražimo rešenja koja pripadaju zadatom intervalu (−π,4π]. (-\pi, 4\pi] . Razdvojićemo opšte rešenje na dva niza i proveriti vrednosti za različite cele brojeve k. k .

x1=π3+2kπix2=−π3+2kπx_1 = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{i} \quad x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi

Za prvi niz rešenja x1=π3+2kπ, x_1 = \frac{\pi}{3} + 2k\pi , proveravamo vrednosti za k. k .

k=0  ⟹  x=π3∈(−π,4π]k=1  ⟹  x=7π3∈(−π,4π]k=2  ⟹  x=13π3∉(−π,4π]k=−1  ⟹  x=−5π3∉(−π,4π]\begin{aligned} k &= 0 \implies x = \frac{\pi}{3} \in (-\pi, 4\pi] \\ k &= 1 \implies x = \frac{7\pi}{3} \in (-\pi, 4\pi] \\ k &= 2 \implies x = \frac{13\pi}{3} \notin (-\pi, 4\pi] \\ k &= -1 \implies x = -\frac{5\pi}{3} \notin (-\pi, 4\pi] \end{aligned}

Za drugi niz rešenja x2=−π3+2kπ, x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi , takođe proveravamo vrednosti za k. k .

k=0  ⟹  x=−π3∈(−π,4π]k=1  ⟹  x=5π3∈(−π,4π]k=2  ⟹  x=11π3∈(−π,4π]k=3  ⟹  x=17π3∉(−π,4π]k=−1  ⟹  x=−7π3∉(−π,4π]\begin{aligned} k &= 0 \implies x = -\frac{\pi}{3} \in (-\pi, 4\pi] \\ k &= 1 \implies x = \frac{5\pi}{3} \in (-\pi, 4\pi] \\ k &= 2 \implies x = \frac{11\pi}{3} \in (-\pi, 4\pi] \\ k &= 3 \implies x = \frac{17\pi}{3} \notin (-\pi, 4\pi] \\ k &= -1 \implies x = -\frac{7\pi}{3} \notin (-\pi, 4\pi] \end{aligned}

Konačan skup rešenja dobijamo objedinjavanjem svih rešenja koja pripadaju zadatom intervalu.

x∈{−π3,π3,5π3,7π3,11π3}x \in \left\{ -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti