2845.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu na intervalu (0,π): (0, \pi) :

4sin⁡2xcos⁡2x+1=04 \sin 2x \cos 2x + 1 = 0
REŠENJE ZADATKA

Koristimo formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡(2α)=2sin⁡αcos⁡α. \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha . Jednačinu možemo prepisati izdvajanjem dvojke:

2⋅(2sin⁡2xcos⁡2x)+1=02 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) + 1 = 0

Primenom formule na izraz u zagradi dobijamo:

2sin⁡4x+1=02 \sin 4x + 1 = 0

Izražavamo sin⁡4x: \sin 4x :

sin⁡4x=−12\sin 4x = -\frac{1}{2}

Opšte rešenje jednačine sin⁡θ=a \sin \theta = a se može zapisati kao unija dva skupa rešenja. Za a=−12, a = -\frac{1}{2} , imamo arcsin⁡(−12)=−π6. \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} . Prvi skup rešenja je:

4x=−π6+2kπ,k∈Z4x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Deljenjem sa 4 dobijamo prvo rešenje za x: x :

x=−π24+kπ2,k∈Zx = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbf{Z}

Drugi skup rešenja dobijamo iz formule 4x=−arcsin⁡a+(2k+1)π: 4x = -\arcsin a + (2k+1)\pi :

4x=π6+(2k+1)π=7π6+2kπ,k∈Z4x = \frac{\pi}{6} + (2k+1)\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Deljenjem sa 4 dobijamo drugo rešenje za x: x :

x=7π24+kπ2,k∈Zx = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbf{Z}

Sada tražimo rešenja koja pripadaju zadatom intervalu x∈(0,π). x \in (0, \pi) . Za prvu grupu rešenja x=−π24+kπ2, x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} , zamenom celih brojeva za k k dobijamo:

k=1  ⟹  x=−π24+π2=11π24k=2  ⟹  x=−π24+π=23π24\begin{aligned} k=1 &\implies x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi}{24} \\ k=2 &\implies x = -\frac{\pi}{24} + \pi = \frac{23\pi}{24} \end{aligned}

Za drugu grupu rešenja x=7π24+kπ2, x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} , zamenom celih brojeva za k k dobijamo:

k=0  ⟹  x=7π24k=1  ⟹  x=7π24+π2=19π24\begin{aligned} k=0 &\implies x = \frac{7\pi}{24} \\ k=1 &\implies x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi}{2} = \frac{19\pi}{24} \end{aligned}

Konačan skup rešenja na intervalu (0,π) (0, \pi) je:

x∈{7π24,11π24,19π24,23π24}x \in \left\{ \frac{7\pi}{24}, \frac{11\pi}{24}, \frac{19\pi}{24}, \frac{23\pi}{24} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti