2852. Trigonometrijske jednačine

Prvo, određujemo domen jednačine. Imenilac ne sme biti jednak nuli:

1 + \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq -1 \implies x \neq \pi + 2k\pi, k \in \mathbf{Z}

Koristimo trigonometrijske identitete za dvostruki ugao kako bismo izrazili $\sin x$ i $1 + \cos x$ preko polovine ugla:

\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}, \quad 1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}

Zamenjujemo ove izraze u početnu jednačinu:

\frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \sin \frac{x}{2}

S obzirom na uslov domena $x \neq \pi + 2k\pi ,$ važi da je $\cos \frac{x}{2} \neq 0 ,$ pa možemo skratiti razlomak:

\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \sin \frac{x}{2}

Množimo obe strane sa $\cos \frac{x}{2}$ (što je dozvoljeno jer je različito od nule) i prebacujemo sve članove na jednu stranu:

\sin \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0

Izvlačimo zajednički faktor $\sin \frac{x}{2}$ ispred zagrade:

\sin \frac{x}{2} \left( 1 - \cos \frac{x}{2} \right) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dva slučaja:

\sin \frac{x}{2} = 0 \quad \lor \quad 1 - \cos \frac{x}{2} = 0

Rešavamo prvu jednačinu:

\sin \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = k\pi \implies x = 2k\pi, k \in \mathbf{Z}

Rešavamo drugu jednačinu:

\cos \frac{x}{2} = 1 \implies \frac{x}{2} = 2m\pi \implies x = 4m\pi, m \in \mathbf{Z}

Skup rešenja $x = 4m\pi$ je podskup skupa rešenja $x = 2k\pi .$ Zbog toga je unija ova dva skupa jednostavno:

x = 2k\pi, k \in \mathbf{Z}

Proveravamo da li dobijena rešenja zadovoljavaju uslov domena $x \neq \pi + 2k\pi .$ Za $x = 2k\pi$ imamo:

\cos(2k\pi) = 1 \neq -1

Pošto rešenja zadovoljavaju uslov domena, konačno rešenje jednačine je:

x = 2k\pi, k \in \mathbf{Z}

2852.Trigonometrijske jednačine