2853. Trigonometrijske jednačine

Koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla da izrazimo $2 \sin^2 x$ preko $\cos 2x .$

2 \sin^2 x = 1 - \cos 2x

Zamenjujemo dobijeni izraz u polaznu jednačinu.

2 + \cos 4x = 1 - \cos 2x

Sada koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla da izrazimo $\cos 4x$ preko $\cos 2x .$

\cos 4x = 2 \cos^2 2x - 1

Zamenjujemo ovo u jednačinu.

2 + 2 \cos^2 2x - 1 = 1 - \cos 2x

Sređujemo levu stranu jednačine.

1 + 2 \cos^2 2x = 1 - \cos 2x

Prebacujemo sve članove na levu stranu i pojednostavljujemo.

2 \cos^2 2x + \cos 2x = 0

Izvlačimo zajednički činilac $\cos 2x$ ispred zagrade.

\cos 2x (2 \cos 2x + 1) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine.

\cos 2x = 0 \quad \lor \quad 2 \cos 2x + 1 = 0

Rešavamo prvu jednačinu.

\cos 2x = 0

Opšte rešenje za $\cos 2x = 0$ je:

2x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Deljenjem sa 2 dobijamo prvu grupu rešenja.

x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbf{Z}

Sada rešavamo drugu jednačinu.

2 \cos 2x + 1 = 0

Izražavamo $\cos 2x .$

\cos 2x = -\frac{1}{2}

Opšte rešenje za $\cos 2x = -\frac{1}{2}$ je:

2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2m\pi, \quad m \in \mathbf{Z}

Deljenjem sa 2 dobijamo drugu grupu rešenja.

x = \pm \frac{\pi}{3} + m\pi, \quad m \in \mathbf{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja ove dve jednačine.

x \in \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbf{Z} \right\} \cup \left\{ \pm \frac{\pi}{3} + m\pi \mid m \in \mathbf{Z} \right\}

2853.Trigonometrijske jednačine