2868. Trigonometrijske jednačine

Prvo određujemo oblast definisanosti jednačine. Funkcije tangens i kotangens su definisane kada je:

x \neq \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet da izrazimo kotangens preko tangensa:

\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}

Zamenom u početnu jednačinu dobijamo:

\operatorname{tg} x + \frac{1}{\operatorname{tg} x} = \frac{5}{2}

Uvodimo smenu $t = \operatorname{tg} x .$ Jednačina se svodi na algebarsku:

t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}

Množimo celu jednačinu sa $2t$ (uz uslov $t \neq 0$ koji je već obuhvaćen oblašću definisanosti) kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

2t^2 - 5t + 2 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = 2, \quad t_2 = \frac{1}{2}

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 2$ i rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

\operatorname{tg} x = 2 \implies x = \operatorname{arctg} 2 + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = \frac{1}{2}$ i rešavamo drugu osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

\operatorname{tg} x = \frac{1}{2} \implies x = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Oba skupa rešenja pripadaju oblasti definisanosti. Konačno rešenje je unija ova dva skupa:

x \in \{ \operatorname{arctg} 2 + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \cup \left\{ \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + m\pi \mid m \in \mathbb{Z} \right\}

2868.Trigonometrijske jednačine