2867.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 917-927):

cos⁡2x−3cos⁡x=4cos⁡2x2\cos 2x - 3 \cos x = 4 \cos^2 \frac{x}{2}
REŠENJE ZADATKA

Koristimo poznate trigonometrijske identitete za kosinus dvostrukog ugla i polovine ugla:

cos⁡2x=2cos⁡2x−1i2cos⁡2x2=1+cos⁡x\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \quad \text{i} \quad 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 1 + \cos x

Primenjujemo ove identitete na polaznu jednačinu. Izraz na desnoj strani 4cos⁡2x2 4 \cos^2 \frac{x}{2} možemo zapisati kao 2(2cos⁡2x2)=2(1+cos⁡x). 2(2 \cos^2 \frac{x}{2}) = 2(1 + \cos x) .

(2cos⁡2x−1)−3cos⁡x=2(1+cos⁡x)(2 \cos^2 x - 1) - 3 \cos x = 2(1 + \cos x)

Oslobađamo se zagrada i prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo sredili jednačinu:

2cos⁡2x−1−3cos⁡x−2−2cos⁡x=02 \cos^2 x - 1 - 3 \cos x - 2 - 2 \cos x = 0

Grupišemo slične članove:

2cos⁡2x−5cos⁡x−3=02 \cos^2 x - 5 \cos x - 3 = 0

Uvodimo smenu t=cos⁡x, t = \cos x , uz uslov t∈[−1,1], t \in [-1, 1] , čime se jednačina svodi na algebarsku (kvadratnu):

2t2−5t−3=02t^2 - 5t - 3 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

t1,2=5±(−5)2−4⋅2⋅(−3)2⋅2=5±25+244=5±74t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}

Dobijamo dva rešenja za t: t :

t1=124=3,t2=−24=−12t_1 = \frac{12}{4} = 3, \quad t_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}

Rešenje t1=3 t_1 = 3 odbacujemo jer ne zadovoljava uslov t∈[−1,1]. t \in [-1, 1] . Vraćamo smenu za drugo rešenje:

cos⁡x=−12\cos x = -\frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

x=±2π3+2kπ,k∈Zx = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti