2874.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 928-945): cos⁡x=cos⁡3x+2sin⁡2x. \cos x = \cos 3x + 2 \sin 2x .

REŠENJE ZADATKA

Prebacujemo cos⁡3x \cos 3x na levu stranu jednačine kako bismo grupisali kosinuse.

cos⁡x−cos⁡3x=2sin⁡2x\cos x - \cos 3x = 2 \sin 2x

Primenjujemo formulu za razliku kosinusa: cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2 \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} na izraz cos⁡x−cos⁡3x. \cos x - \cos 3x .

−2sin⁡x+3x2sin⁡x−3x2=2sin⁡2x-2 \sin \frac{x + 3x}{2} \sin \frac{x - 3x}{2} = 2 \sin 2x

Sređujemo argumente sinusa na levoj strani.

−2sin⁡(2x)sin⁡(−x)=2sin⁡2x-2 \sin(2x) \sin(-x) = 2 \sin 2x

Koristimo svojstvo neparnosti sinusne funkcije, sin⁡(−x)=−sin⁡x. \sin(-x) = -\sin x .

2sin⁡(2x)sin⁡x=2sin⁡2x2 \sin(2x) \sin x = 2 \sin 2x

Delimo jednačinu sa 2 2 i prebacujemo sve članove na levu stranu.

sin⁡(2x)sin⁡x−sin⁡2x=0\sin(2x) \sin x - \sin 2x = 0

Izvlačimo zajednički činilac sin⁡2x \sin 2x ispred zagrade.

sin⁡2x(sin⁡x−1)=0\sin 2x (\sin x - 1) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine.

sin⁡2x=0∨sin⁡x−1=0\sin 2x = 0 \quad \lor \quad \sin x - 1 = 0

Rešavamo prvu jednačinu.

sin⁡2x=0  ⟹  2x=kπ  ⟹  x=kπ2,k∈Z\sin 2x = 0 \implies 2x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu.

sin⁡x=1  ⟹  x=π2+2mπ,m∈Z\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Primećujemo da su rešenja druge jednačine već obuhvaćena rešenjima prve jednačine (za neparne vrednosti k, k , npr. k=1,5,−3,… k = 1, 5, -3, \dots ). Konačno rešenje je:

x=kπ2,k∈Zx = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti