2873.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 928-945):

sin⁡x−sin⁡2x+sin⁡3x−sin⁡4x=0\sin x - \sin 2x + \sin 3x - \sin 4x = 0
REŠENJE ZADATKA

Grupišemo sabirke na sledeći način:

(sin⁡x+sin⁡3x)−(sin⁡2x+sin⁡4x)=0(\sin x + \sin 3x) - (\sin 2x + \sin 4x) = 0

Primenjujemo formulu za zbir sinusa sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2 \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} na obe zagrade:

2sin⁡x+3x2cos⁡x−3x2−2sin⁡2x+4x2cos⁡2x−4x2=02\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2} - 2\sin\frac{2x+4x}{2}\cos\frac{2x-4x}{2} = 0

Sređujemo izraze, koristeći parnost kosinusa cos⁡(−x)=cos⁡x: \cos(-x) = \cos x :

2sin⁡2xcos⁡x−2sin⁡3xcos⁡x=02\sin 2x \cos x - 2\sin 3x \cos x = 0

Izvlačimo zajednički činilac 2cos⁡x 2\cos x ispred zagrade:

2cos⁡x(sin⁡2x−sin⁡3x)=02\cos x (\sin 2x - \sin 3x) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine:

cos⁡x=0∨sin⁡2x−sin⁡3x=0\cos x = 0 \quad \lor \quad \sin 2x - \sin 3x = 0

Rešavamo prvu jednačinu:

cos⁡x=0  ⟹  x=π2+kπ,k∈Z\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu. Možemo je zapisati kao:

sin⁡3x=sin⁡2x\sin 3x = \sin 2x

Dva ugla imaju isti sinus ako se razlikuju za ceo broj punih krugova ili ako su suplementni (uz dodatak celog broja punih krugova). Dakle, imamo dva slučaja:

3x=2x+2mπ∨3x=π−2x+2mπ,m∈Z3x = 2x + 2m\pi \quad \lor \quad 3x = \pi - 2x + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Iz prvog slučaja dobijamo:

x=2mπ,m∈Zx = 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Iz drugog slučaja dobijamo:

5x=π+2mπ  ⟹  x=π5+2mπ5,m∈Z5x = \pi + 2m\pi \implies x = \frac{\pi}{5} + \frac{2m\pi}{5}, \quad m \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija svih dobijenih rešenja (gde su k k i m m celi brojevi):

x=π2+kπ∨x=2mπ∨x=π(1+2m)5x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \lor \quad x = 2m\pi \quad \lor \quad x = \frac{\pi(1 + 2m)}{5}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti