2899.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 957-963):^5 sin⁡x+3cos⁡x=−2. \sin x + \sqrt{3} \cos x = -\sqrt{2} .

REŠENJE ZADATKA

Ovo je linearna trigonometrijska jednačina oblika asin⁡x+bcos⁡x=c. a \sin x + b \cos x = c . Rešavamo je deljenjem cele jednačine sa a2+b2. \sqrt{a^2 + b^2} . Za našu jednačinu, a=1 a = 1 i b=3, b = \sqrt{3} , pa računamo vrednost kojom delimo:

12+(3)2=1+3=4=2\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2

Delimo polaznu jednačinu sa 2:

12sin⁡x+32cos⁡x=−22\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Prepoznajemo vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao π3: \frac{\pi}{3} :

cos⁡π3=12,sin⁡π3=32\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Zamenjujemo ove vrednosti u jednačinu:

sin⁡xcos⁡π3+cos⁡xsin⁡π3=−22\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β: \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta :

sin⁡(x+π3)=−22\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Sinus ima vrednost −22 -\frac{\sqrt{2}}{2} za uglove −π4+2kπ -\frac{\pi}{4} + 2k\pi i 5π4+2kπ, \frac{5\pi}{4} + 2k\pi , gde je k∈Z. k \in \mathbb{Z} .

x+π3=−π4+2kπ∨x+π3=5π4+2kπx + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \lor \quad x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi

Izražavamo x x iz prve jednačine:

x=−π4−π3+2kπ=−3π−4π12+2kπ=−7π12+2kπx = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{-3\pi - 4\pi}{12} + 2k\pi = -\frac{7\pi}{12} + 2k\pi

Izražavamo x x iz druge jednačine:

x=5π4−π3+2kπ=15π−4π12+2kπ=11π12+2kπx = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{15\pi - 4\pi}{12} + 2k\pi = \frac{11\pi}{12} + 2k\pi

Konačno rešenje jednačine čine obe grupe rešenja, gde je k k ceo broj.

x=−7π12+2kπ∨x=11π12+2kπ,k∈Zx = -\frac{7\pi}{12} + 2k\pi \quad \lor \quad x = \frac{11\pi}{12} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti