2900. Trigonometrijske jednačine

Podelimo celu jednačinu sa $2$ kako bismo iskoristili adicionu formulu.

\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{1}{2}

Znamo da je $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Zamenjujemo ove vrednosti u jednačinu:

\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}

Primenjujemo adicionu formulu za sinus razlike uglova: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta .$

\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Sinus ima vrednost $\frac{1}{2}$ za uglove $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{5\pi}{6}$ u prvom krugu.

x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Izražavamo $x$ iz prve jednačine:

x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + 2k\pi = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi

Izražavamo $x$ iz druge jednačine:

x = \frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} + 2k\pi = \frac{3\pi}{12} + \frac{10\pi}{12} + 2k\pi = \frac{13\pi}{12} + 2k\pi

Konačno rešenje jednačine je:

x \in \left\{ \frac{5\pi}{12} + 2k\pi, \frac{13\pi}{12} + 2k\pi \right\}, \quad k \in \mathbb{Z}

2900.Trigonometrijske jednačine