2944.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

sin⁡2x+cos⁡x+1<0\sin^2 x + \cos x + 1 < 0
REŠENJE ZADATKA

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet da izrazimo sin⁡2x \sin^2 x preko cos⁡x: \cos x :

sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x

Zamenjujemo ovo u početnu nejednačinu:

(1−cos⁡2x)+cos⁡x+1<0(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 < 0

Sređujemo izraz i množimo sa −1 -1 (što menja znak nejednakosti):

−cos⁡2x+cos⁡x+2<0/⋅(−1)cos⁡2x−cos⁡x−2>0-\cos^2 x + \cos x + 2 < 0 \quad / \cdot (-1) \\ \cos^2 x - \cos x - 2 > 0

Uvodimo smenu t=cos⁡x. t = \cos x . Pošto je kosinus ograničena funkcija, važi −1≤t≤1. -1 \le t \le 1 . Nejednačina postaje:

t2−t−2>0t^2 - t - 2 > 0

Računamo korene kvadratne jednačine t2−t−2=0 t^2 - t - 2 = 0 da bismo faktorisali izraz:

t1,2=1±1−4⋅1⋅(−2)2=1±32t1=2,t2=−1t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \\ t_1 = 2, \quad t_2 = -1

Kvadratni trinom zapisujemo u faktorisanom obliku:

(t−2)(t+1)>0(t - 2)(t + 1) > 0

Vraćamo smenu t=cos⁡x: t = \cos x :

(cos⁡x−2)(cos⁡x+1)>0(\cos x - 2)(\cos x + 1) > 0

Znamo da je cos⁡x≤1 \cos x \le 1 za svako realno x, x , pa je izraz cos⁡x−2 \cos x - 2 uvek negativan (jer je cos⁡x−2≤−1<0 \cos x - 2 \le -1 < 0 ). Da bi proizvod bio pozitivan, drugi činilac mora takođe biti negativan:

cos⁡x+1<0  ⟹  cos⁡x<−1\cos x + 1 < 0 \implies \cos x < -1

Međutim, vrednost kosinusa ne može biti manja od −1 -1 jer je kodomen funkcije cos⁡x \cos x interval [−1,1]. [-1, 1] . Zbog toga ova nejednačina nema rešenja.

x∈∅x \in \emptyset

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti