2943.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: tg x−sin⁡x>0. \text{tg } x - \sin x > 0.

tg x−sin⁡x>0\text{tg } x - \sin x > 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo domen nejednačine. Funkcija tangens je definisana za sve realne brojeve osim onih za koje je kosinus jednak nuli:

x≠π2+kπ,k∈Zx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Zapisujemo funkciju tangens preko sinusa i kosinusa:

sin⁡xcos⁡x−sin⁡x>0\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x > 0

Izvlačimo sin⁡x \sin x ispred zagrade kao zajednički činilac:

sin⁡x(1cos⁡x−1)>0\sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right) > 0

Svodimo izraz u zagradi na zajednički imenilac:

sin⁡x(1−cos⁡xcos⁡x)>0\sin x \left( \frac{1 - \cos x}{\cos x} \right) > 0

Prepoznajemo da je sin⁡xcos⁡x=tg x, \frac{\sin x}{\cos x} = \text{tg } x , pa nejednačinu možemo drugačije grupisati i zapisati kao:

tg x⋅(1−cos⁡x)>0\text{tg } x \cdot (1 - \cos x) > 0

Znamo da za funkciju kosinus važi −1≤cos⁡x≤1, -1 \le \cos x \le 1 , pa je izraz 1−cos⁡x 1 - \cos x uvek nenegativan:

1−cos⁡x≥01 - \cos x \ge 0

Pošto se traži da proizvod bude strogo veći od nule, mora važiti 1−cos⁡x>0, 1 - \cos x > 0 , što znači da cos⁡x≠1. \cos x \neq 1 . To se dešava kada je:

x≠2kπ,k∈Zx \neq 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Kada je 1−cos⁡x>0, 1 - \cos x > 0 , da bi ceo proizvod bio pozitivan, i drugi činilac mora biti pozitivan:

tg x>0\text{tg } x > 0

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku nejednačinu tg x>0: \text{tg } x > 0 :

kπ<x<π2+kπ,k∈Zk\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Proveravamo da li ovo rešenje obuhvata vrednosti za koje je cos⁡x=1 \cos x = 1 (odnosno x=2kπ x = 2k\pi ). Pošto su granice intervala otvorene, te vrednosti nisu uključene. Konačno rešenje možemo zapisati preko intervala:

x∈(kπ,π2+kπ),k∈Zx \in \left( k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti