2946.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: sin⁡2x−3−12sin⁡x−34<0. \sin^2 x - \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{4} < 0.

REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smenu t=sin⁡x t = \sin x i dobijamo kvadratnu nejednačinu:

t2−3−12t−34<0t^2 - \frac{\sqrt{3} - 1}{2} t - \frac{\sqrt{3}}{4} < 0

Rešavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu:

t2−3−12t−34=0t^2 - \frac{\sqrt{3} - 1}{2} t - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0

Računamo diskriminantu:

D=(−3−12)2−4⋅1⋅(−34)=4−234+3=4+234D = \left( -\frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4}

Primetimo da se brojilac može zapisati kao kvadrat binoma:

4+23=1+23+3=(1+3)24 + 2\sqrt{3} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = (1 + \sqrt{3})^2

Nalazimo rešenja kvadratne jednačine:

t1,2=3−12±3+122t_{1,2} = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{2} \pm \frac{\sqrt{3} + 1}{2}}{2}

Rešenja su:

t1=32,t2=−12t_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad t_2 = -\frac{1}{2}

Pošto je koeficijent uz t2 t^2 pozitivan, rešenje kvadratne nejednačine je interval između korena:

−12<t<32-\frac{1}{2} < t < \frac{\sqrt{3}}{2}

Vraćamo smenu t=sin⁡x: t = \sin x :

−12<sin⁡x<32-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}

Tražimo presek uslova sin⁡x>−12 \sin x > -\frac{1}{2} i sin⁡x<32 \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2} na trigonometrijskoj kružnici. Prave y=−12 y = -\frac{1}{2} i y=32 y = \frac{\sqrt{3}}{2} seku kružnicu u tačkama koje odgovaraju uglovima:

−π6,7π6iπ3,2π3-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} \quad \text{i} \quad \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}

Deo kružnice za koji važi −12<sin⁡x<32 -\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2} sastoji se od dva odvojena luka. Prvi luk obuhvata uglove:

x∈(−π6+2kπ,π3+2kπ),k∈Zx \in \left( -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Drugi luk obuhvata uglove:

x∈(2π3+2kπ,7π6+2kπ),k∈Zx \in \left( \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija ova dva skupa:

x∈(−π6+2kπ,π3+2kπ)∪(2π3+2kπ,7π6+2kπ),k∈Zx \in \left( -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi \right) \cup \left( \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti