2947.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu: cos⁡x−sin⁡x<1 \cos x - \sin x < 1

REŠENJE ZADATKA

Transformišemo izraz na levoj strani nejednačine množenjem i deljenjem sa 2. \sqrt{2} .

cos⁡x−sin⁡x=2(22cos⁡x−22sin⁡x)\cos x - \sin x = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right)

Prepoznajemo vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao π4. \frac{\pi}{4} .

2(cos⁡π4cos⁡x−sin⁡π4sin⁡x)\sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} \cos x - \sin\frac{\pi}{4} \sin x \right)

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira: cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β. \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta .

cos⁡x−sin⁡x=2cos⁡(x+π4)\cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu nejednačinu.

2cos⁡(x+π4)<1\sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < 1

Delimo nejednačinu sa 2 \sqrt{2} i racionališemo desnu stranu.

cos⁡(x+π4)<12=22\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Uvodimo smenu t=x+π4. t = x + \frac{\pi}{4} . Nejednačina postaje:

cos⁡t<22\cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}

Sa trigonometrijske kružnice očitavamo rešenja za t. t . Kosinus je manji od 22 \frac{\sqrt{2}}{2} za uglove između π4 \frac{\pi}{4} i 7π4 \frac{7\pi}{4} u jednom periodu.

π4+2kπ<t<7π4+2kπ,k∈Z\frac{\pi}{4} + 2k\pi < t < \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu t=x+π4. t = x + \frac{\pi}{4} .

π4+2kπ<x+π4<7π4+2kπ\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x + \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4} + 2k\pi

Oduzimamo π4 \frac{\pi}{4} od svih delova nejednakosti kako bismo izrazili x. x .

2kπ<x<6π4+2kπ2k\pi < x < \frac{6\pi}{4} + 2k\pi

Skraćujemo razlomak na desnoj strani.

2kπ<x<3π2+2kπ,k∈Z2k\pi < x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Zapisujemo konačno rešenje u obliku intervala.

x∈(2kπ,3π2+2kπ),k∈Zx \in \left( 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti