Podeli

835.
Trigonometrijski i eksponencijalni oblik

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve $z$ za koje važi:

z^2=1-i\sqrt3

REŠENJE ZADATKA

z=\sqrt[2]{1-i\sqrt{3}}

Zapisati broj $1-i\sqrt3$ u trigonometrijskom obliku : $z=|z|\cdot(\cos{(\text{arg}(z))}+i\sin{(\text{arg}(z))}).$

1-i\sqrt3=2\big(\cos{(-\frac{\pi}3)}+i\sin{(-\frac{\pi}3)}\big)

DODATNO OBJAŠNJENJE

Odrediti moduo broja $1-i\sqrt{3}$ po formuli $|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

|1-i\sqrt{3}|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2

Ugao $\varphi$ odrediti po formuli $\tg{\varphi=|\frac{y}{x}|}.$

\tg{\varphi} = |\frac{-\sqrt{3}}{1}|=\sqrt{3} \implies \alpha=\frac{\pi}{3}

Pošto su $x>0$ i $y<0$ kompleksni broj $1-i\sqrt3$ se nalazi u četvrtom kvadrantu, pa je $\arg{z}=-\varphi$

\arg{z}=-\frac{\pi}{3}

Primeniti formulu za korenovanje kompleksnog broja: $\sqrt[n]{|z|} \cdot (\cos{\frac{\text{arg}(z)+2k\pi}{n}}+i\sin{\frac{\text{arg}(z)+2k\pi}{n}}), \quad k\in\{0, 1, ...,n-1\}$

\sqrt{2}\cdot (\cos{\frac{-\frac{\pi}{3}+2k\pi}{2}} + i\sin{\frac{-\frac{\pi}{3}+2k\pi}{2}} ), \quad k \in \{ 0,1 \}

Za $k=0:$

z_0=\sqrt{2}\cdot (\cos{\frac{-\frac{\pi}{3}+2\cdot 0 \cdot \pi}{2}} + i\sin{\frac{-\frac{\pi}{3}+2\cdot 0 \cdot \pi}{2}} ) \\ z_0=\sqrt{2}\cdot (\cos{(-\frac{\pi}{6})} + i\sin{(-\frac{\pi}{6})} ) \\ z_0=\sqrt{2} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)\\ z_0=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{3}-i)

Za $k=1:$

z_1=\sqrt{2}\cdot (\cos{\frac{-\frac{\pi}{3}+2\cdot 1 \cdot \pi}{2}} + i\sin{\frac{-\frac{\pi}{3}+2\cdot 1 \cdot \pi}{2}} ) \\ z_1=\sqrt{2}\cdot (\cos{(\pi-\frac{\pi}{6})} + i\sin{(\pi-\frac{\pi}{6})} ) \\ z_1=\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)\\ z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}(-\sqrt{3}+i)

Rešenja jednačine su:

\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{3}-i) \quad \text{i} \quad \frac{\sqrt{2}}{2}(-\sqrt{3}+i)

835.Trigonometrijski i eksponencijalni oblik

835.
Trigonometrijski i eksponencijalni oblik