3448.

206.ž

TEKST ZADATKA

Napisati u obliku razlomka sledeći beskonačni periodični decimalni broj: 0,(142857). 0,(142857) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo dati broj označiti sa x. x . Zapis 0,(142857) 0,(142857) znači da se blok cifara 142857 142857 neprestano ponavlja.

x=0,142857142857142857...x = 0,142857142857142857...

Pošto period ponavljanja ima 6 cifara, pomnožićemo obe strane jednačine sa 106, 10^6 , odnosno sa 1 000 000, 1\,000\,000 , kako bismo pomerili decimalni zarez za jedan ceo period udesno.

1 000 000x=142857,142857142857...1\,000\,000x = 142857,142857142857...

Sada ćemo od nove jednačine oduzeti početnu jednačinu x=0,142857... x = 0,142857... kako bismo eliminisali beskonačni decimalni deo.

1 000 000x−x=142857,142857...−0,142857...1\,000\,000x - x = 142857,142857... - 0,142857...

Računamo razliku na obe strane.

999 999x=142857999\,999x = 142857

Izražavamo x x kao razlomak.

x=142857999 999x = \frac{142857}{999\,999}

Sada je potrebno skratiti dobijeni razlomak. Primetimo da je 999 999=7⋅142857. 999\,999 = 7 \cdot 142857 .

x=142857÷142857999 999÷142857=17x = \frac{142857 \div 142857}{999\,999 \div 142857} = \frac{1}{7}

Konačan rezultat u obliku razlomka je:

0,(142857)=170,(142857) = \frac{1}{7}