3509.

211.b

TEKST ZADATKA

Dokazati da su brojevi: 3 \sqrt{3} ; iracionalni.

REŠENJE ZADATKA

Dokaz ćemo sprovesti svođenjem na protivrečnost. Pretpostavimo suprotno, tj. da je 3 \sqrt{3} racionalan broj. Tada se on može zapisati u obliku nesvodljivog razlomka pq, \frac{p}{q} , gde su p p i q q uzajamno prosti celi brojevi i q≠0. q \neq 0 .

3=pq\sqrt{3} = \frac{p}{q}

Kvadriramo obe strane jednačine.

3=p2q23 = \frac{p^2}{q^2}

Množenjem sa q2 q^2 dobijamo vezu između p2 p^2 i q2. q^2 .

p2=3q2p^2 = 3q^2

Iz ovoga sledi da je p2 p^2 deljivo sa 3. Pošto je 3 prost broj, to znači da i p p mora biti deljivo sa 3. Zato p p možemo zapisati kao:

p=3k,k∈Zp = 3k, \quad k \in \mathbb{Z}

Zamenimo p=3k p = 3k u prethodnu jednačinu p2=3q2. p^2 = 3q^2 .

(3k)2=3q2(3k)^2 = 3q^2

Kvadriramo izraz na levoj strani.

9k2=3q29k^2 = 3q^2

Deljenjem cele jednačine sa 3 dobijamo:

3k2=q23k^2 = q^2

Ovo znači da je q2 q^2 deljivo sa 3, pa samim tim i q q mora biti deljivo sa 3.

q=3m,m∈Zq = 3m, \quad m \in \mathbb{Z}

Dobili smo da su i p p i q q deljivi sa 3. To znači da oni imaju zajednički delilac 3, što je u kontradikciji sa našom početnom pretpostavkom da su p p i q q uzajamno prosti brojevi (da je razlomak nesvodljiv).

Zbog dobijene protivrečnosti, naša početna pretpostavka je netačna, pa zaključujemo da je 3 \sqrt{3} iracionalan broj.