3510.

212.d

TEKST ZADATKA

Dokazati da su brojevi: 12−1 \frac{1}{\sqrt{2} - 1} iracionalni.

REŠENJE ZADATKA

Prvo, racionališimo imenilac datog razlomka. Množimo brojilac i imenilac sa konjugovanim izrazom imenioca, odnosno sa 2+1. \sqrt{2} + 1 .

12−1=12−1⋅2+12+1\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata u imeniocu: (a−b)(a+b)=a2−b2. (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 .

2+1(2)2−12\frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}

Računamo vrednost u imeniocu i uprošćavamo izraz.

2+12−1=2+11=2+1\frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{1} = \sqrt{2} + 1

Sada treba dokazati da je dobijeni broj 2+1 \sqrt{2} + 1 iracionalan. Pretpostavimo suprotno, tj. da je on racionalan broj i označimo ga sa r. r .

2+1=r,r∈Q\sqrt{2} + 1 = r, \quad r \in \mathbb{Q}

Izrazimo 2 \sqrt{2} iz ove jednačine.

2=r−1\sqrt{2} = r - 1

Pošto je r r racionalan broj, i 1 1 je racionalan broj, njihova razlika r−1 r - 1 mora biti racionalan broj. Međutim, poznato je da je 2 \sqrt{2} iracionalan broj.

2∉Qi(r−1)∈Q\sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \quad \text{i} \quad (r - 1) \in \mathbb{Q}

Dobili smo kontradikciju jer iracionalan broj ne može biti jednak racionalnom broju. Time je dokazano da je početni broj iracionalan.

12−1∉Q\frac{1}{\sqrt{2} - 1} \notin \mathbb{Q}