3511.

212.v

TEKST ZADATKA

Dokazati da je broj 2+3 \sqrt{2} + \sqrt{3} iracionalan.

REŠENJE ZADATKA

Dokaz ćemo sprovesti svođenjem na protivrečnost. Pretpostavimo suprotno, odnosno da je dati broj racionalan. Neka je taj broj jednak nekom racionalnom broju r. r .

r=2+3,r∈Qr = \sqrt{2} + \sqrt{3}, \quad r \in \mathbb{Q}

Kvadriramo obe strane jednačine kako bismo se oslobodili korena.

r2=(2+3)2r^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na desnoj strani.

r2=(2)2+223+(3)2r^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2

Sređujemo dobijeni izraz.

r2=2+26+3=5+26r^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}

Sada izražavamo 6 \sqrt{6} iz ove jednačine.

26=r2−5  ⟹  6=r2−522\sqrt{6} = r^2 - 5 \implies \sqrt{6} = \frac{r^2 - 5}{2}

Analiziramo dobijenu jednakost. Kako je r r racionalan broj, tada je i izraz na desnoj strani jednakosti takođe racionalan broj.

r2−52∈Q\frac{r^2 - 5}{2} \in \mathbb{Q}

Međutim, na levoj strani jednakosti se nalazi broj 6, \sqrt{6} , za koji znamo da je iracionalan. Time smo dobili da je iracionalan broj jednak racionalnom, što predstavlja protivrečnost.

6∉Q\sqrt{6} \notin \mathbb{Q}

Zbog dobijene protivrečnosti, zaključujemo da je naša početna pretpostavka bila pogrešna. Dakle, dati broj je iracionalan.

2+3∉Q\sqrt{2} + \sqrt{3} \notin \mathbb{Q}