PrethodniSledeći
4535.

325

TEKST ZADATKA

Neka su a a i b b prave koje pripadaju dvema različitim paralelnim ravnima α \alpha i β. \beta . Dokazati da je a∩b=∅. a \cap b = \emptyset .

REŠENJE ZADATKA

Dokaz ćemo sprovesti svođenjem na protivrečnost (kontradikciju). Pretpostavimo suprotno, da se prave a a i b b seku, odnosno da imaju zajedničku tačku P. P .

P∈a∩bP \in a \cap b

Iz pretpostavke sledi da tačka P P pripada i pravoj a a i pravoj b. b .

P∈aiP∈bP \in a \quad \text{i} \quad P \in b

Prema uslovu zadatka, prava a a pripada ravni α. \alpha . Pošto tačka P P pripada pravoj a, a , ona mora pripadati i ravni α. \alpha .

a⊂α  ⟹  P∈αa \subset \alpha \implies P \in \alpha

Slično, prava b b pripada ravni β. \beta . Pošto tačka P P pripada pravoj b, b , ona mora pripadati i ravni β. \beta .

b⊂β  ⟹  P∈βb \subset \beta \implies P \in \beta

Pošto tačka P P pripada i ravni α \alpha i ravni β, \beta , ona pripada njihovom preseku.

P∈α∩βP \in \alpha \cap \beta

Ovo bi značilo da presek ravni α \alpha i β \beta nije prazan skup.

α∩β≠∅\alpha \cap \beta \neq \emptyset

Međutim, u postavci zadatka je dato da su ravni α \alpha i β \beta paralelne. Po definiciji paralelnih ravni, one nemaju zajedničkih tačaka.

α∥β  ⟹  α∩β=∅\alpha \parallel \beta \implies \alpha \cap \beta = \emptyset

Dobili smo kontradikciju. Naša pretpostavka da se prave a a i b b seku je netačna, pa zaključujemo da one nemaju zajedničkih tačaka.

a∩b=∅a \cap b = \emptyset

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu