PrethodniSledeći
4538.

327

TEKST ZADATKA

Dokazati da dve različite paralelne prave a a i b b određuju jednu ravan.

REŠENJE ZADATKA

Prema definiciji paralelnih pravih, pošto su prave a a i b b različite i paralelne, postoji ravan α \alpha koja ih sadrži. Ovim je dokazano postojanje takve ravni.

a∥b,a≠b  ⟹  ∃α takva da a⊂α i b⊂αa \parallel b, \quad a \neq b \implies \exists \alpha \text{ takva da } a \subset \alpha \text{ i } b \subset \alpha

Sada dokazujemo jedinstvenost te ravni. Na osnovu Aksiome 1, prava a a sadrži najmanje dve različite tačke. Neka su to tačke A A i B. B . Prava b b takođe sadrži najmanje jednu tačku, neka je to tačka C. C .

A,B∈a(A≠B),C∈bA, B \in a \quad (A \neq B), \quad C \in b

Dokažimo da su tačke A, A , B B i C C nekolinearne. Ako bi bile kolinearne, pripadale bi istoj pravoj. Kako A,B∈a, A, B \in a , ta prava bi morala biti a. a . Međutim, prave a a i b b su paralelne i različite, pa nemaju zajedničkih tačaka.

a∩b=∅  ⟹  C∉aa \cap b = \emptyset \implies C \notin a

Pošto C∉a, C \notin a , tačke A, A , B B i C C ne pripadaju istoj pravoj, odnosno nekolinearne su. Prema Aksiomi 3, svake tri nekolinearne tačke određuju tačno jednu ravan. Neka je to ravan β. \beta .

A,B,C nekolinearne   ⟹  ∃!β takva da A,B,C∈βA, B, C \text{ nekolinearne } \implies \exists! \beta \text{ takva da } A, B, C \in \beta

Neka je γ \gamma bilo koja ravan koja sadrži prave a a i b. b . Pošto sadrži te prave, ona mora sadržati i sve njihove tačke, pa samim tim i tačke A, A , B B i C. C .

a⊂γ,b⊂γ  ⟹  A,B,C∈γa \subset \gamma, \quad b \subset \gamma \implies A, B, C \in \gamma

Kako ravan γ \gamma sadrži tri nekolinearne tačke A, A , B B i C, C , a te tačke (prema Aksiomi 3) određuju tačno jednu ravan, sledi da ravan γ \gamma mora biti jednaka ravni β. \beta .

γ=β\gamma = \beta

Ovim smo dokazali da je ravan koja sadrži dve različite paralelne prave jedinstvena, čime je dokaz završen.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu