PrethodniSledeći
4540.

328

TEKST ZADATKA

Neka su a, a , b b i c c tri prave ravni π. \pi . Ako je a∥b a \parallel b i prava c c seče pravu a, a , dokazati da prava c c seče i pravu b. b .

REŠENJE ZADATKA

Dokaz ćemo sprovesti svođenjem na kontradikciju. Pretpostavimo suprotno, tj. da prava c c ne seče pravu b. b .

Pošto prave c c i b b pripadaju istoj ravni π \pi i nemaju zajedničkih tačaka, po definiciji sledi da su paralelne.

c∥bc \parallel b

Neka je A A tačka preseka pravih a a i c. c . Tada tačka A A pripada i pravoj a a i pravoj c. c .

a∩c={A}  ⟹  A∈a,A∈ca \cap c = \{A\} \implies A \in a, \quad A \in c

Po pretpostavci zadatka imamo da je a∥b, a \parallel b , a iz pretpostavke kontradikcije smo dobili c∥b. c \parallel b .

To znači da kroz tačku A A prolaze dve različite prave, a a i c, c , koje su obe paralelne pravoj b. b .

Ovo je u direktnoj suprotnosti sa Aksiomom paralelnosti, koja tvrdi da za svaku pravu i svaku tačku postoji tačno jedna prava koja sadrži tu tačku i paralelna je datoj pravoj.

Zbog ove kontradikcije, naša početna pretpostavka mora biti netačna. Zaključujemo da prava c c mora seći pravu b, b , čime je dokaz završen.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu