PrethodniSledeći
4547.

341

TEKST ZADATKA

Data je ravan α \alpha i njoj paralelna prava a. a . Dokazati da postoji tačno jedna ravan π \pi koja sadrži pravu a a i paralelna je ravni α. \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Neka je A A proizvoljna tačka prave a. a . Prema poznatoj teoremi, kroz tačku van date ravni prolazi tačno jedna ravan paralelna datoj ravni. Neka je π \pi ta jedinstvena ravan koja sadrži tačku A A i paralelna je ravni α. \alpha .

Dokazaćemo da prava a a u celosti pripada ravni π. \pi . Pretpostavimo suprotno, odnosno da prava a a ne pripada ravni π. \pi .

Pošto prava a a sadrži tačku A A koja pripada ravni π, \pi , a pretpostavili smo da ne pripada u celosti ravni π, \pi , prava a a i ravan π \pi se seku u tačno jednoj tački, tački A. A .

Neka je β \beta proizvoljna ravan koja sadrži pravu a a i seče ravan α. \alpha . Presek ravni β \beta i α \alpha je neka prava p. p .

β∩α=p\beta \cap \alpha = p

Pošto je prava a a paralelna ravni α \alpha (a∥α a \parallel \alpha ) i pripada ravni β, \beta , a ravan β \beta seče ravan α \alpha po pravoj p, p , sledi da prava a a nema zajedničkih tačaka sa pravom p. p . Kako obe pripadaju istoj ravni β, \beta , one su paralelne.

a∥pa \parallel p

Ravan β \beta seče i ravan π \pi po nekoj pravoj p′ p' koja prolazi kroz zajedničku tačku A. A .

β∩π=p′\beta \cap \pi = p'

Kako su ravni π \pi i α \alpha paralelne (π∥α \pi \parallel \alpha ), a ravan β \beta ih seče po pravama p′ p' i p, p , te dve prave ne mogu imati zajedničkih tačaka. Pošto obe pripadaju ravni β, \beta , one moraju biti paralelne.

p′∥pp' \parallel p

U ravni β \beta sada imamo dve prave, a a i p′, p' , koje prolaze kroz istu tačku A A i obe su paralelne pravoj p. p .

Prema aksiomi paralelnosti, za svaku pravu i svaku tačku van nje postoji tačno jedna prava koja sadrži tu tačku i paralelna je datoj pravoj. Zbog toga prave a a i p′ p' moraju biti ista prava.

a=p′a = p'

Pošto prava p′ p' po definiciji pripada ravni π, \pi , a pokazali smo da je a=p′, a = p' , zaključujemo da i prava a a pripada ravni π. \pi . Time smo došli do kontradikcije sa pretpostavkom da prava a a ne pripada ravni π. \pi .

a⊂πa \subset \pi

Ovim smo dokazali da ravan π \pi sadrži pravu a a i paralelna je ravni α. \alpha . Jedinstvenost ravni π \pi direktno sledi iz jedinstvenosti ravni koja prolazi kroz datu tačku (u ovom slučaju A A ) i paralelna je datoj ravni.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu