PrethodniSledeći
4546.

340

TEKST ZADATKA

Neka su α \alpha i β \beta dve paralelne ravni i neka ih ravan γ \gamma seče redom po pravim a a i b. b . Dokazati da je a∥b. a \parallel b .

REŠENJE ZADATKA

Prema uslovu zadatka, prave a a i b b predstavljaju preseke ravni γ \gamma sa ravnima α \alpha i β. \beta .

a=α∩γib=β∩γa = \alpha \cap \gamma \quad \text{i} \quad b = \beta \cap \gamma

Iz ovoga direktno sledi da obe prave, a a i b, b , pripadaju ravni γ. \gamma .

a⊂γib⊂γa \subset \gamma \quad \text{i} \quad b \subset \gamma

Pretpostavimo suprotno, tj. da prave a a i b b nisu paralelne. Pošto pripadaju istoj ravni γ, \gamma , one se moraju seći u nekoj tački P. P .

a∩b={P}a \cap b = \{P\}

Kako tačka P P pripada pravoj a, a , a prava a a pripada ravni α, \alpha , sledi da tačka P P pripada ravni α. \alpha .

P∈a∧a⊂α  ⟹  P∈αP \in a \land a \subset \alpha \implies P \in \alpha

Slično, kako tačka P P pripada pravoj b, b , a prava b b pripada ravni β, \beta , sledi da tačka P P pripada ravni β. \beta .

P∈b∧b⊂β  ⟹  P∈βP \in b \land b \subset \beta \implies P \in \beta

Iz prethodna dva koraka zaključujemo da tačka P P pripada i ravni α \alpha i ravni β, \beta , što znači da one imaju zajedničku tačku.

P∈α∩βP \in \alpha \cap \beta

Ovo je u kontradikciji sa pretpostavkom zadatka da su ravni α \alpha i β \beta paralelne, odnosno da nemaju zajedničkih tačaka.

α∥β  ⟹  α∩β=∅\alpha \parallel \beta \implies \alpha \cap \beta = \emptyset

Zbog dobijene kontradikcije, naša pretpostavka da se prave a a i b b seku je netačna. Kako obe prave pripadaju istoj ravni γ \gamma i nemaju zajedničkih tačaka, one moraju biti paralelne.

a∥ba \parallel b

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu