PrethodniSledeći
4548.

336.v

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeća tvrđenja: za svake dve ravni α \alpha i β \beta postoji ravan γ \gamma koja ih obe seče.

REŠENJE ZADATKA

Neka su date dve ravni α \alpha i β. \beta . Ako se ove dve ravni poklapaju (α=β \alpha = \beta ), tada bilo koja ravan koja seče jednu, seče i drugu. Zato ćemo u daljem dokazu pretpostaviti da su ravni α \alpha i β \beta različite.

Izaberimo tačku A A koja pripada ravni α, \alpha , ali ne pripada ravni β \beta (A∈α∖β A \in \alpha \setminus \beta ). Zatim izaberimo tačku B B koja pripada ravni β, \beta , ali ne pripada ravni α \alpha (B∈β∖α B \in \beta \setminus \alpha ).

Ovakve tačke uvek postoje jer su ravni α \alpha i β \beta različite. Na osnovu Aksiome 2, svake dve različite tačke određuju jednu pravu. Neka tačke A A i B B određuju pravu koju ćemo obeležiti sa p. p .

Prava p p prodire ravan α \alpha u tački A A i ravan β \beta u tački B. B .

Sada, izaberimo tačku C C koja ne pripada pravoj p, p , niti pripada ravni α, \alpha , niti ravni β. \beta . Takva tačka sigurno postoji jer na osnovu Aksiome 4 postoje četiri nekomplanarne tačke, što znači da prostor sadrži tačke van bilo koje dve zadate ravni.

Tačke A, A , B B i C C su nekolinearne (jer C∉p C \notin p ), pa na osnovu Aksiome 3 one određuju jedinstvenu ravan. Obeležimo tu novu ravan sa γ. \gamma .

Ravan γ \gamma sadrži tačku A A koja pripada ravni α. \alpha . Pošto ravan γ \gamma sadrži i tačku C C koja ne pripada ravni α, \alpha , zaključujemo da su ravni α \alpha i γ \gamma različite.

Na osnovu Aksiome 6, ako dve različite ravni (α \alpha i γ \gamma ) imaju jednu zajedničku tačku (A A ), onda one imaju tačno jednu zajedničku pravu. Dakle, ravan γ \gamma seče ravan α. \alpha .

Slično tome, ravan γ \gamma sadrži tačku B B koja pripada ravni β. \beta . Kako C∈γ C \in \gamma i C∉β, C \notin \beta , ravni β \beta i γ \gamma su takođe različite.

Ponovo, na osnovu Aksiome 6, ravni β \beta i γ \gamma imaju zajedničku tačku B, B , pa se one seku po jednoj pravoj. Time smo dokazali da ravan γ \gamma seče obe ravni, α \alpha i β. \beta .

Za skicu ovog problema: nacrtajte dve ravni α \alpha i β \beta (mogu biti paralelne ili se mogu seći). Zatim nacrtajte pravu koja ih probija u tačkama A A i B. B . Na kraju, nacrtajte ravan γ \gamma koja sadrži tu pravu i neku tačku C C van obe ravni, tako da se jasno vide presečne prave ravni γ \gamma sa ravnima α \alpha i β. \beta .

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu