PrethodniSledeći
757.

(−1+i32)3=(−1−i32)3=1(\frac{-1+i\sqrt3}2)^3=(\frac{-1-i\sqrt3}2)^3=1

TEKST ZADATKA

Dokazati:

(−1+i32)3=(−1−i32)3=1\bigg(\frac{-1+i\sqrt3}2\bigg)^3=\bigg(\frac{-1-i\sqrt3}2\bigg)^3=1
REŠENJE ZADATKA

Dokaz podeliti na dva dela, prvo dokazati tvrdnju za prvi broj, a zatim za drugi.

1. (−1+i32)3=12. (−1−i32)3=11. \ \bigg(\frac{-1+i\sqrt3}2\bigg)^3=1 \\ 2. \ \bigg(\frac{-1-i\sqrt3}2\bigg)^3=1

Srediti prvi izraz primenom formule za kub zbira: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

(−1+i32)3(−1)3+3⋅(−1)2⋅i3+3⋅(−1)⋅(i3)2+(i3)38−1+33i−9i2+33i38\bigg(\frac{-1+i\sqrt3}2\bigg)^3 \\ \frac{(-1)^3+3\cdot(-1)^2\cdot i\sqrt3+3\cdot(-1)\cdot(i\sqrt3)^2+(i\sqrt3)^3}8 \\ \frac{-1+3\sqrt3i-9i^2+3\sqrt3i^3}8

Zameniti i2i^2 sa −1-1 i zameniti i3i^3 sa −i.-i.

−1+33i−9i2+33i2⋅i8−1+33i+9−33i8−1+33i+9−33i888\frac{-1+3\sqrt3i-9i^2+3\sqrt3i^2\cdot i}8 \\ \frac{-1+3\sqrt3i+9-3\sqrt3i}8 \\ \frac{-1+\cancel{3\sqrt{3}i}+9-\cancel{3\sqrt3i}} {8} \\ \frac{8}{8}

Prva jednakost je dokazana.

88=1\frac{8}{8} = 1

Srediti drugi izraz primenom formule za kub razlike: (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

(−1)3−3⋅(−1)2⋅i3+3⋅(−1)⋅(i3)2−(i3)38−1−33i−9i2−33i38\frac{(-1)^3-3\cdot(-1)^2\cdot i\sqrt3+3\cdot(-1)\cdot(i\sqrt3)^2-(i\sqrt3)^3}8\\ \frac{-1-3\sqrt3i-9i^2-3\sqrt3i^3}8

Zameniti i2i^2 sa −1-1 i zameniti i3i^3 sa −i.-i.

−1−33i−9i2−33i2⋅i8−1−33i+9+33i888\frac{-1-3\sqrt3i-9i^2-3\sqrt3i^2\cdot i}8 \\ \frac{-1-3\sqrt3i+9+3\sqrt3i}8 \\ \frac{8}{8}

Druga jednakost je dokazana.

88=1\frac{8}{8}=1

Kako su obe jednakosti tačne, dokaz je završen.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu