PrethodniSledeći
764.

56(1+2i3+i)6+454\sqrt{56\big(\frac{1+2i}{3+i}\big)^6+\frac{45}4}

TEKST ZADATKA

Izračunati:

56(1+2i3+i)6+454\sqrt{56\bigg(\frac{1+2i}{3+i}\bigg)^6+\frac{45}4}
REŠENJE ZADATKA

Dva moguća rešenja su:

72−i,−72+i\frac72-i,\quad -\frac72+i

Srediti izraz:

56(1+2i3+i)656\bigg(\frac{1+2i}{3+i}\bigg)^6

Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od 3+i,3+i, što je 3−i.3-i.

56(1+2i3+i⋅3−i3−i)656(5+5i10)656(1+i2)656\bigg(\frac{1+2i}{3+i}\cdot\frac{3-i}{3-i}\bigg)^6 \\ 56\bigg(\frac{5+5i}{10}\bigg)^6 \\ 56\bigg(\frac{1+i}{2}\bigg)^6

Srediti izraz.

56⋅(1+i)62656⋅(1+i)66478(1+i)656\cdot\frac{(1+i)^6}{2^6}\\ 56\cdot\frac{(1+i)^6}{64}\\ \frac78(1+i)^6

Izraz (1+i)6(1+i)^6 rastaviti na sledeći način:

78(1+i)2(1+i)478(1+i)2((1+i)2)2\frac78(1+i)^2(1+i)^4\\ \frac78(1+i)^2((1+i)^2)^2

Srediti izraz.

78(1+2i+i2)(1+2i+i2)278(1+2i−1)(1+2i−1)278⋅2i⋅(2i)278⋅2i⋅4i278⋅8i3\frac78(1+2i+i^2)(1+2i+i^2)^2\\ \frac78(1+2i-1)(1+2i-1)^2 \\ \frac78\cdot2i\cdot(2i)^2\\ \frac78\cdot2i\cdot4i^2\\ \frac78\cdot8i^3

Zameniti i3i^3 sa −i-i

−7i-7i

Zameniti dobijenu vrednost u početni koren.

−7i+454\sqrt{-7i+\frac{45}4}

Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskom obliku tako što se pretpostavi da je 454−7i=x+iy,\sqrt{\frac{45}4-7i}=x+iy, gde su xx i yy realni brojevi koje treba odrediti.

Kvadrirati obe strane.

454−7i=x+iy454−7i=(x+iy)2454−7i=x2+2xiy+i2y2\sqrt{\frac{45}4-7i}=x+iy \\ \frac{45}4-7i=(x+iy)^2\\ \frac{45}4-7i=x^2+2xiy+i^2y^2

Pošto je i2=−1i^2=-1 dobija se:

454−7i=x2+2xyi−y2\frac{45}4-7i=x^2+2xyi-y^2

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

x2−y2=4542xy=−7x^2-y^2=\frac{45}4 \\ 2xy=-7

Iz druge jednačine izraziti y.y.

2xy=−7  ⟹  y=−72x2xy=-7 \implies y=-\frac7{2x}

Uvrstiti y=−72xy=-\frac7{2x} u prvu jednačinu.

x2−(−72x)2=454x2−494x2=4544x4−45x2−49=0x^2-\bigg(-\frac7{2x}\bigg)^2=\frac{45}4\\ x^2-\frac{49}{4x^2}=\frac{45}4 \\ 4x^4-45x^2-49=0

Uvesti smenu t=x2.t=x^2.

4t2−45t−49=04t^2-45t-49=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=4,a=4, b=−45b=-45 i c=−49c=-49

t1,2=45±(−45)2−4⋅4⋅(−49)2⋅4t1,2=45±2025+7848t1,2=45±538t1=−1∨t2=494t_{1,2} = \frac{45\pm\sqrt{(-45)^2-4\cdot4\cdot (-49)}}{2\cdot 4}\\ t_{1,2} = \frac{45\pm\sqrt{2025+784}}{8}\\ t_{1,2} = \frac{45\pm53}{8} \\ t_1=-1 \quad\lor\quad t_2=\frac{49}4

Kako je t=x2t=x^2 ne može biti negativno, rešenje t1=−1t_1=-1 se odbacuje.

Za t2=9t_2=9 rešenja za xx su:

x1=72∨x2=−72x_1=\frac72\quad\lor\quad x_2=-\frac72

Rešenja za yy su:

y1=−72⋅72=−77=−1y2=−7−2⋅72=77=1y_1=-\frac7{2\cdot\frac72}=-\frac77=-1 \\ y_2=-\frac7{-2\cdot\frac72}=\frac77=1

Za x1=72x_1=\frac72 i y1=−1y_1=-1 rešenje je:

72−i\frac72-i

Za x2=−72x_2=-\frac72 i y2=1y_2=1 rešenje je:

−72+i-\frac72+i

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu