488. Zadatak | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Koji član u razvoju binoma $\bigg(\sqrt[3]{\frac a {\sqrt{b}}} +\sqrt{\frac b {\sqrt[3]{a}}}\bigg)^{21}, a>0, \ b>0 ,$ sadrži $a$ i $b$ sa istim stepenom?

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $n=21$

T_{k+1}=\binom{21}{k} \bigg(\big(\frac a {\sqrt{b}}\big)^{\frac 1 3}\bigg)^{n-k}\bigg(\big(\frac b {\sqrt[3]{a}}\big)^{\frac 12}\bigg)^k=\binom{21}{k} a^{\frac 1 3 (n-k)-\frac 1 6k} \cdot b^{-\frac 16(n-k)+\frac 12k}

Pošto je zadato da $a$ i $b$ imaju iste stepene, sledi da važi jednakost:

\frac 1 3 (n-k)-\frac 1 6k= -\frac 16(n-k)+\frac 12k

Rešavanjem jednačine dobija se:

k= 9

Traženi član binomnog razvoja odgovara $k=9,$ a pošto indeksiranje počinje od 0, to je deseti član.

7. Binomna formula