513. Zadatak | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Treći član u razvoju $\big(2x+\frac 1 {x^2} \big)^m, \ x\not=0, \ m\in N$ ne sadrži $x.$ Odrediti sve vrednosti za $x$ tako da taj član bude jednak drugom članu u razvoju $(1+x^3)^{30} .$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti treći član binomnog razvoja $\big(2x+\frac 1 {x^2} \big)^m$ po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $a=2x,$ $b=\frac 1 {x^2},$ $k=2$

T_{3}=\binom{m}{2} (2x)^{m-2}\bigg(\frac 1 {x^2}\bigg)^2=\binom{m}{2} 2^{m-2}x^{m-6}

Kako, po uslovu zadatka, treći član ne sadrži $x,$ treba odrediti $m$ tako da eksponent uz $x$ bude jednak nuli:

m-6=0 \implies m=6

Tada je treći član jednak:

T_{3}=\binom{6}{2} 2^{6-2}x^{6-6}=15\cdot 2^4=15\cdot 16=240

Odrediti drugi član binomnog razvoja $(1+x^3)^{30}$ po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $a=1,$ $b=x^3,$ $k=1,$ $n=30$

T_{2}=\binom{30}{1} 1^{30-1}(x^3)^1=30x^3

Iz postavke zadatka važi:

30x^3=240

Rešavanjem jednačine dobija se:

x_1=2 \lor x_{2,3}=-1\pm i\sqrt3

16. Binomna formula