166

Neka su tri uzastopna prirodna broja $n ,$ $n+1$ i $n+2 .$ Njihov proizvod možemo zapisati kao:

Prema teoremi o deljenju sa ostatkom, svaki prirodan broj $n$ pri deljenju sa $3$ može imati ostatak $0 ,$ $1$ ili $2 .$ Zato se broj $n$ može zapisati u jednom od sledeća tri oblika, gde je $k$ nenegativan ceo broj:

Razmotrićemo prvi slučaj, kada je $n = 3k .$ Zamenom u izraz za proizvod dobijamo:

Pošto je jedan od činilaca broj $3 ,$ proizvod $P$ se može zapisati kao $3 \cdot q ,$ gde je $q = k(3k+1)(3k+2)$ ceo broj. Prema definiciji deljivosti, zaključujemo da je u ovom slučaju proizvod deljiv sa $3 .$

Razmotrićemo drugi slučaj, kada je $n = 3k+1 .$ Tada je treći broj $n+2 = 3k+1+2 = 3k+3 .$ Izvlačenjem broja $3$ ispred zagrade, dobijamo $n+2 = 3(k+1) .$ Zamenom u izraz za proizvod dobijamo:

Slično kao u prethodnom slučaju, proizvod ima činilac $3 ,$ pa se može zapisati kao $3 \cdot q ,$ gde je $q = (3k+1)(3k+2)(k+1) .$ Dakle, i u ovom slučaju proizvod je deljiv sa $3 .$

Razmotrićemo treći slučaj, kada je $n = 3k+2 .$ Tada je drugi broj $n+1 = 3k+2+1 = 3k+3 .$ Izvlačenjem broja $3$ ispred zagrade, dobijamo $n+1 = 3(k+1) .$ Zamenom u izraz za proizvod dobijamo:

Ponovo vidimo da proizvod ima činilac $3 ,$ pa se može zapisati kao $3 \cdot q ,$ gde je $q = (3k+2)(k+1)(3k+4) .$ Dakle, i u trećem slučaju proizvod je deljiv sa $3 .$

Pošto smo pokazali da je u svakom od tri moguća slučaja proizvod deljiv sa $3 ,$ dokazali smo da je proizvod bilo koja tri uzastopna prirodna broja uvek deljiv sa $3 .$