3359.

165

TEKST ZADATKA

Ako je n n prirodan broj, onda je n2+n n^2 + n deljivo sa 2. 2 . Dokazati.

REŠENJE ZADATKA

Prvo, rastavimo dati izraz na činioce izvlačenjem zajedničkog faktora n n ispred zagrade.

n2+n=n(n+1)n^2 + n = n(n + 1)

Dobili smo proizvod dva uzastopna prirodna broja, n n i n+1. n + 1 .

Prema teoremi o deljenju sa ostatkom, svaki prirodan broj n n pri deljenju sa 2 2 može imati ostatak 0 0 ili 1. 1 . Zato broj n n možemo zapisati u obliku n=2q n = 2q (paran broj) ili n=2q+1 n = 2q + 1 (neparan broj), gde je q q ceo broj.

Prvi slučaj: Neka je n=2q. n = 2q . Zamenom u naš izraz dobijamo:

n(n+1)=2q(2q+1)n(n + 1) = 2q(2q + 1)

Pošto proizvod sadrži faktor 2, 2 , on je deljiv sa 2. 2 .

2∣2q(2q+1)2 \mid 2q(2q + 1)

Drugi slučaj: Neka je n=2q+1. n = 2q + 1 . Zamenom u izraz dobijamo:

n(n+1)=(2q+1)(2q+1+1)=(2q+1)(2q+2)n(n + 1) = (2q + 1)(2q + 1 + 1) = (2q + 1)(2q + 2)

Iz druge zagrade možemo izvući faktor 2. 2 .

(2q+1)⋅2(q+1)=2(2q+1)(q+1)(2q + 1) \cdot 2(q + 1) = 2(2q + 1)(q + 1)

I u ovom slučaju proizvod sadrži faktor 2, 2 , pa je deljiv sa 2. 2 .

2∣2(2q+1)(q+1)2 \mid 2(2q + 1)(q + 1)

Pošto je u oba moguća slučaja proizvod deljiv sa 2, 2 , dokazali smo da je izraz n2+n n^2 + n uvek deljiv sa 2 2 za svaki prirodan broj n. n .