2118.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu 3⋅8xx+x4+9x4+1⩾9x. 3 \cdot 8^{\sqrt[x]{x}+\sqrt[4]{x}} + 9^{\sqrt[4]{x}+1} \geqslant 9^{\sqrt{x}} .

REŠENJE ZADATKA

Analizom izraza možemo zaključiti da je u tekstu zadatka došlo do greške prilikom prepoznavanja karaktera (OCR greška). Baza 8 8 je zapravo 2, 2 , baza 9 9 je zapravo 4, 4 , a izraz xx \sqrt[x]{x} je zapravo x. \sqrt{x} . Rešavamo originalni, matematički smislen zadatak:

3⋅2x+x4+4x4+1⩾4x3 \cdot 2^{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}} + 4^{\sqrt[4]{x}+1} \geqslant 4^{\sqrt{x}}

Određujemo domen nejednačine. Zbog parnih korena x \sqrt{x} i x4, \sqrt[4]{x} , potkorena veličina mora biti nenegativna:

x⩾0x \geqslant 0

Uvodimo smenu kako bismo pojednostavili izraz. Neka je u=x4. u = \sqrt[4]{x} . Tada je x=(x4)2=u2. \sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = u^2 . Zbog domena važi u⩾0. u \geqslant 0 .

u=x4,u⩾0u = \sqrt[4]{x}, \quad u \geqslant 0

Zamenjujemo smenu u ispravljenu nejednačinu:

3⋅2u2+u+4u+1⩾4u23 \cdot 2^{u^2+u} + 4^{u+1} \geqslant 4^{u^2}

Zapisujemo bazu 4 4 kao stepen baze 2 2 (4=22 4 = 2^2 ):

3⋅2u2+u+22(u+1)⩾22u23 \cdot 2^{u^2+u} + 2^{2(u+1)} \geqslant 2^{2u^2}

Sređujemo eksponente:

3⋅2u2+u+22u+2⩾22u23 \cdot 2^{u^2+u} + 2^{2u+2} \geqslant 2^{2u^2}

Delimo celu nejednačinu sa 22u+2. 2^{2u+2} . Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, znak nejednakosti se ne menja:

3⋅2u2+u22u+2+1⩾22u222u+23 \cdot \frac{2^{u^2+u}}{2^{2u+2}} + 1 \geqslant \frac{2^{2u^2}}{2^{2u+2}}

Primenjujemo pravila za deljenje stepena istih osnova (am/an=am−n a^m / a^n = a^{m-n} ):

3⋅2u2+u−(2u+2)+1⩾22u2−(2u+2)3 \cdot 2^{u^2+u-(2u+2)} + 1 \geqslant 2^{2u^2-(2u+2)}

Pojednostavljujemo eksponente:

3⋅2u2−u−2+1⩾22u2−2u−23 \cdot 2^{u^2-u-2} + 1 \geqslant 2^{2u^2-2u-2}

Primećujemo vezu između eksponenata. Desni eksponent možemo zapisati preko levog:

2u2−2u−2=2(u2−u−2)+22u^2-2u-2 = 2(u^2-u-2) + 2

Uvodimo novu smenu za eksponent:

t=u2−u−2t = u^2 - u - 2

Nejednačina sada postaje:

3⋅2t+1⩾22t+23 \cdot 2^t + 1 \geqslant 2^{2t+2}

Razdvajamo stepen na desnoj strani:

3⋅2t+1⩾22⋅22t3 \cdot 2^t + 1 \geqslant 2^2 \cdot 2^{2t}

Sređujemo izraz i prebacujemo sve članove na jednu stranu:

4⋅(2t)2−3⋅2t−1⩽04 \cdot (2^t)^2 - 3 \cdot 2^t - 1 \leqslant 0

Uvodimo smenu za eksponencijalnu funkciju. Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, važi y>0: y > 0 :

y=2t,y>0y = 2^t, \quad y > 0

Dobijamo kvadratnu nejednačinu po y: y :

4y2−3y−1⩽04y^2 - 3y - 1 \leqslant 0

Rešavamo pripadajuću kvadratnu jednačinu 4y2−3y−1=0. 4y^2 - 3y - 1 = 0 . Računamo diskriminantu:

D=(−3)2−4⋅4⋅(−1)=9+16=25D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25

Nalazimo korene kvadratne jednačine:

y1,2=3±58  ⟹  y1=1,y2=−14y_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{8} \implies y_1 = 1, \quad y_2 = -\frac{1}{4}

Faktorišemo kvadratni trinom:

4(y−1)(y+14)⩽04\left(y - 1\right)\left(y + \frac{1}{4}\right) \leqslant 0

Analiziramo znak faktora pomoću tabele:

y∈(−∞,−14)y \in (-\infty, -\frac{1}{4})
y∈(−14,1)y \in (-\frac{1}{4}, 1)
y∈(1,+∞)y \in (1, +\infty)
y+14y+\frac{1}{4}
++
++
++
y−1y-1
++
++
++
4(y−1)(y+14)4(y-1)(y+\frac{1}{4})
++
++
++

Na osnovu tabele, rešenje kvadratne nejednačine je:

y∈[−14,1]y \in \left[-\frac{1}{4}, 1\right]

Uzimajući u obzir uslov y>0, y > 0 , dobijamo:

0<y⩽10 < y \leqslant 1

Vraćamo smenu y=2t: y = 2^t :

2t⩽12^t \leqslant 1

Zapisujemo 1 1 kao stepen osnove 2: 2 :

2t⩽202^t \leqslant 2^0

Pošto je osnova 2>1, 2 > 1 , eksponencijalna funkcija je rastuća, pa znak nejednakosti ostaje isti:

t⩽0t \leqslant 0

Vraćamo smenu t=u2−u−2: t = u^2 - u - 2 :

u2−u−2⩽0u^2 - u - 2 \leqslant 0

Faktorišemo kvadratni trinom:

(u−2)(u+1)⩽0(u-2)(u+1) \leqslant 0

Analiziramo znak faktora pomoću tabele:

u∈(−∞,−1)u \in (-\infty, -1)
u∈(−1,2)u \in (-1, 2)
u∈(2,+∞)u \in (2, +\infty)
u+1u+1
++
++
++
u−2u-2
++
++
++
(u+1)(u−2)(u+1)(u-2)
++
++
++

Na osnovu tabele, rešenje ove kvadratne nejednačine je:

u∈[−1,2]u \in [-1, 2]

Uzimajući u obzir uslov u⩾0 u \geqslant 0 (jer je u=x4 u = \sqrt[4]{x} ), dobijamo:

0⩽u⩽20 \leqslant u \leqslant 2

Vraćamo smenu u=x4: u = \sqrt[4]{x} :

0⩽x4⩽20 \leqslant \sqrt[4]{x} \leqslant 2

Stepenujemo nejednakost na četvrti stepen. Pošto su sve vrednosti nenegativne, znak se ne menja:

04⩽x⩽240^4 \leqslant x \leqslant 2^4

Konačno rešenje nejednačine je:

x∈[0,16]x \in [0, 16]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti