Podeli

2119.
Eksponencijalne jednačine i nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Primećujemo da se osnove mogu zapisati kao stepeni brojeva 4 i 9.

16^x = (4^2)^x = (4^x)^2, \quad 81^x = (9^2)^x = (9^x)^2, \quad 36^x = (4 \cdot 9)^x = 4^x \cdot 9^x

Zamenjujemo ovo u početnu nejednačinu.

9 \cdot (4^x)^2 + 4 \cdot (9^x)^2 < 13 \cdot 4^x \cdot 9^x

Delimo celu nejednačinu sa $(9^x)^2 ,$ što je uvek pozitivno, pa se znak nejednakosti ne menja.

9 \cdot \frac{(4^x)^2}{(9^x)^2} + 4 \cdot \frac{(9^x)^2}{(9^x)^2} < 13 \cdot \frac{4^x \cdot 9^x}{(9^x)^2}

Sređujemo izraz koristeći pravila za stepenovanje.

9 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{2x} + 4 < 13 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x

Uvodimo smenu $t = \left(\frac{4}{9}\right)^x ,$ uz uslov $t > 0 .$

9t^2 + 4 < 13t

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu nejednačinu.

9t^2 - 13t + 4 < 0

Rešavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu $9t^2 - 13t + 4 = 0$ da bismo našli nule.

t_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{18} = \frac{13 \pm 5}{18}

Dobijamo nule kvadratnog trinoma.

t_1 = 1, \quad t_2 = \frac{4}{9}

Zapisujemo kvadratni trinom u faktorisanom obliku kako bismo analizirali znak.

(9t - 4)(t - 1) < 0

t \in (-\infty, \frac{4}{9})

t \in (\frac{4}{9}, 1)

t \in (1, +\infty)

9t - 4

+

+

+

t - 1

+

+

+

(9t - 4)(t - 1)

+

+

+

Sa tabele očitavamo interval u kom je izraz negativan.

t \in \left(\frac{4}{9}, 1\right)

Vraćamo smenu $t = \left(\frac{4}{9}\right)^x .$

\frac{4}{9} < \left(\frac{4}{9}\right)^x < 1

Zapisujemo sve strane nejednakosti sa istom osnovom $\frac{4}{9} .$

\left(\frac{4}{9}\right)^1 < \left(\frac{4}{9}\right)^x < \left(\frac{4}{9}\right)^0

Pošto je osnova $\frac{4}{9} < 1 ,$ eksponencijalna funkcija je opadajuća, pa se znak nejednakosti menja kada pređemo na izložioce.

1 > x > 0

Konačno rešenje zapisujemo u obliku intervala.

x \in (0, 1)

2119.Eksponencijalne jednačine i nejednačine