PrethodniSledeći
815.

Im z=∣z−i∣, Re z=Im z\text{Im}\ z=|z-i|, \ \text{Re}\ z=\text{Im}\ z

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve zz za koje važi:

Im z=∣z−i∣, Re z=Imz\text{Im}\ z=|z-i|, \ \text{Re}\ z=\text{Im}z
REŠENJE ZADATKA

Modul kompleksnog broja z=x+iyz=x+iy je jednak:

∣z−i∣=∣x+(y−1)i∣=x2+(y−1)2|z-i|=|x+(y-1)i|=\sqrt{x^2+(y-1)^2}

Iz Im z=∣z−i∣\text{Im}\ z=|z-i| sledi:

x2+(y−1)2=yx2+(y−1)2=y2x2+y2−2y+1=y2x2−2y+1=0(1)\sqrt{x^2+(y-1)^2}=y \\ x^2+(y-1)^2=y^2 \\ x^2+y^2-2y+1=y^2 \\ x^2-2y+1=0 \quad (1)

Iz Re z=Im z\text{Re}\ z=\text{Im} \ z sledi:

x=y(2)x=y \quad (2)

Uvrstiti x=yx=y u prvu jednačinu.

y2−2y+1=0(y−1)2=0y=1y^2-2y+1=0 \\ (y-1)^2=0 \\ y=1

Iz (2)(2) sledi:

x=y=1x=y=1

Uvrstiti xx i yy u izraz z=x+iy.z=x+iy.

z=1+iz=1+i

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu