1231.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza:

I=(1+i32)3000+(1−i32)3000I = \left(\frac{1 + i\sqrt{3}}{2}\right)^{3000} + \left(\frac{1 - i\sqrt{3}}{2}\right)^{3000}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo kompleksne brojeve unutar zagrada zapisati u trigonometrijskom obliku. Neka je z1=12+i32. z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} . Određujemo moduo i argument.

∣z1∣=(12)2+(32)2=1,arg⁡(z1)=π3|z_1| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1, \quad \arg(z_1) = \frac{\pi}{3}

Zapisujemo z1 z_1 i njegov konjugovan broj z2=z1ˉ z_2 = \bar{z_1} u trigonometrijskom obliku:

z1=cos⁡π3+isin⁡π3,z2=cos⁡(−π3)+isin⁡(−π3)z_1 = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}, \quad z_2 = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)

Primenjujemo Moavrovu formulu zn=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)) z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) za stepenovanje kompleksnog broja na oba sabirka za n=3000. n = 3000 .

z13000=cos⁡(3000⋅π3)+isin⁡(3000⋅π3)z_1^{3000} = \cos\left(3000 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(3000 \cdot \frac{\pi}{3}\right)

Sređujemo argumente unutar funkcija sinus i kosinus:

3000⋅π3=1000π3000 \cdot \frac{\pi}{3} = 1000\pi

Računamo vrednosti za prvi sabirak, koristeći činjenicu da je 1000π 1000\pi paran umnožak broja π: \pi :

z13000=cos⁡(1000π)+isin⁡(1000π)=1+i⋅0=1z_1^{3000} = \cos(1000\pi) + i\sin(1000\pi) = 1 + i \cdot 0 = 1

Slično računamo i za drugi sabirak:

z23000=cos⁡(−1000π)+isin⁡(−1000π)=1+i⋅0=1z_2^{3000} = \cos(-1000\pi) + i\sin(-1000\pi) = 1 + i \cdot 0 = 1

Sabiranjem dobijenih rezultata dobijamo konačnu vrednost izraza:

I=1+1=2I = 1 + 1 = 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti