1439.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve z z koji zadovoljavaju sistem jednačina:

{∣z+i∣=∣z+2∣∣z−2∣=∣z+2i∣\begin{cases} |z + i| = |z + 2| \\ |z - 2| = |z + 2i| \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Uvodimo algebarski oblik kompleksnog broja z=x+iy, z = x + iy , gde su x,y∈R. x, y \in \mathbb{R} . Zamenjujemo ovaj izraz u prvu jednačinu sistema.

∣x+iy+i∣=∣x+iy+2∣|x + iy + i| = |x + iy + 2|

Grupišemo realne i imaginarne delove unutar modula, a zatim primenjujemo definiciju modula ∣a+bi∣=a2+b2. |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} .

∣x+i(y+1)∣=∣(x+2)+iy∣  ⟹  x2+(y+1)2=(x+2)2+y2|x + i(y + 1)| = |(x + 2) + iy| \implies \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + y^2}

Kvadriramo obe strane jednačine i razvijamo kvadrate binoma.

x2+y2+2y+1=x2+4x+4+y2x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + 4x + 4 + y^2

Sređujemo prvu jednačinu tako što poništavamo zajedničke članove x2 x^2 i y2. y^2 .

2y+1=4x+4  ⟹  4x−2y=−32y + 1 = 4x + 4 \implies 4x - 2y = -3

Sada zamenjujemo z=x+iy z = x + iy u drugu jednačinu sistema i primenjujemo isti postupak.

∣x+iy−2∣=∣x+iy+2i∣  ⟹  ∣(x−2)+iy∣=∣x+i(y+2)∣|x + iy - 2| = |x + iy + 2i| \implies |(x - 2) + iy| = |x + i(y + 2)|

Nakon primene modula i kvadriranja, dobijamo drugu linearnu jednačinu po x x i y. y .

(x−2)2+y2=x2+(y+2)2  ⟹  x2−4x+4+y2=x2+y2+4y+4(x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 2)^2 \implies x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4

Sređivanjem druge jednačine dobijamo:

−4x=4y  ⟹  x=−y-4x = 4y \implies x = -y

Sada rešavamo sistem dve linearne jednačine sa dve nepoznate zamenom x=−y x = -y u prvu sređenu jednačinu.

4(−y)−2y=−3  ⟹  −6y=−3  ⟹  y=124(-y) - 2y = -3 \implies -6y = -3 \implies y = \frac{1}{2}

Računamo vrednost za x x koristeći vezu x=−y. x = -y .

x=−12x = -\frac{1}{2}

Konačno, formiramo kompleksan broj z z koristeći dobijene vrednosti za realni i imaginarni deo.

z=−12+12iz = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti