1440.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve z z koji zadovoljavaju sistem jednačina:

{∣z−i∣=∣z+3i∣∣z∣=∣z−3−i∣\begin{cases} |z - i| = |z + 3i| \\ |z| = |z - 3 - i| \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Pretpostavimo da je kompleksan broj z z zapisan u algebarskom obliku z=x+iy, z = x + iy , gde su x x i y y realni brojevi. Zamenjujemo ovaj izraz u prvu jednačinu sistema.

∣x+iy−i∣=∣x+iy+3i∣|x + iy - i| = |x + iy + 3i|

Grupišemo realne i imaginarne delove unutar modula, a zatim primenjujemo definiciju modula kompleksnog broja ∣a+bi∣=a2+b2. |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} .

x2+(y−1)2=x2+(y+3)2\sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{x^2 + (y + 3)^2}

Kvadriramo obe strane i sređujemo jednačinu kako bismo odredili vrednost za y. y .

x2+y2−2y+1=x2+y2+6y+9x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 + 6y + 9

Nakon poništavanja članova x2 x^2 i y2, y^2 , dobijamo linearnu jednačinu po y. y .

−2y+1=6y+9  ⟹  8y=−8  ⟹  y=−1-2y + 1 = 6y + 9 \implies 8y = -8 \implies y = -1

Sada koristimo drugu jednačinu sistema ∣z∣=∣z−3−i∣ |z| = |z - 3 - i| i zamenjujemo z=x+iy. z = x + iy .

∣x+iy∣=∣x+iy−3−i∣|x + iy| = |x + iy - 3 - i|

Primenjujemo definiciju modula i na drugu jednačinu.

x2+y2=(x−3)2+(y−1)2\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2}

Kvadriramo i zamenjujemo već pronađenu vrednost y=−1. y = -1 .

x2+(−1)2=(x−3)2+(−1−1)2x^2 + (-1)^2 = (x - 3)^2 + (-1 - 1)^2

Računamo vrednost nepoznate x. x .

x2+1=x2−6x+9+4  ⟹  6x=12  ⟹  x=2x^2 + 1 = x^2 - 6x + 9 + 4 \implies 6x = 12 \implies x = 2

Na osnovu dobijenih vrednosti x=2 x = 2 i y=−1, y = -1 , formiramo konačno rešenje za kompleksan broj z. z .

z=2−iz = 2 - i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti